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流体力学计算题及答案

第二章例1:用复式水银压差计测量密封容器内水面的相对压强,如图所示。

已知:水面高程z 0=3m,压差计各水银面的高程分别为z 1=0.03m, z 2=0.18m, z 3=0.04m, z 4=0.20m, 水银密度3/13600m kg ρ=',水的密度3/1000m kg ρ= 。

试求水面的相对压强p 0。

解:ap z z γz z γz z γp =-----+)(')(')(3412100)()('1034120z z γz z z z γp ---+-=∴例2:用如图所示的倾斜微压计测量两条同高程水管的压差。

该微压计是一个水平倾角为θ的Π形管。

已知测压计两侧斜液柱读数的差值为L=30mm ,倾角θ=30∘,试求压强差p 1 –p 2 。

解: 224131)()(p z z γz z γp =-+-- θL γz z γp p sin )(4321=-=-∴例3:用复式压差计测量两条气体管道的压差(如图所示)。

两个U 形管的工作液体为水银,密度为ρ2 ,其连接管充以酒精,密度为ρ1 。

如果水银面的高度读数为z 1 、 z 2 、 z 3、 z 4 ,试求压强差p A – p B 。

解: 点1 的压强 :p A )(21222z z γp p A --=的压强:点)()(33211223z z γz z γp p A -+--=的压强:点B A p z z γz z γz z γp p =---+--=)()()(3423211224 )()(32134122z z γz z z z γp p B A ---+-=-∴例4:用离心铸造机铸造车轮。

求A-A 面上的液体总压力。

解: C gz r p +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2221ωρ a p gz r p +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴2221ωρ在界面A-A 上:Z = - ha p gh r p +⎪⎭⎫⎝⎛+=∴2221ωρ⎪⎭⎫⎝⎛+=-=∴⎰2420218122)(ghR R rdr p p F a Rωπρπ例5:在一直径d= 300mm ,而高度H=500mm 的园柱形容器中注水至高度h 1 = 300mm ,使容器绕垂直轴作等角速度旋转。

如图所示。

(1)试确定使水之自由液面正好达到容器边缘时的转数n 1;(2)求抛物面顶端碰到容器底时的转数n 2,此时容器停止旋转后水面高度h 2将为多少? 解:(1)由于容器旋转前后,水的体积不变(亦即容器中空气的体积不变),有:14214221ππd L d H h ⋅=-() ∴=-==L H h mm m 2400041().在xoz 坐标系中,自由表面1的方程: gr z 2220ω=对于容器边缘上的点,有:m L z m dr 4.015.020====图)/(67.1815.04.08.922220s rad r gz =⨯⨯==∴ω∵ωπ=260n / ∴==⨯=n r 160260186721783ωππ..(/min) (2)当抛物面顶端碰到容器底部时,这时原容器中的水将被甩出一部分,液面为图中2所指。

在'''x o z 坐标系中:自由表面2的方程: gr z 2220ω'='当m H z m dr 5.0,15.02=='==时 )/(87.2015.05.08.922220s rad rz g =⨯⨯='='ω min)/(3.199287.20602602r ππωn =⨯='=∴这时,有:14214222ππd H d H h ⋅=-() mm Hh Hh H 2502222==∴=-∴例6:已知:一块平板宽为 B ,长为L,倾角,顶端与水面平齐。

求:总压力及作用点。

解:总压力: LB θL γA h γF c 2sin ⋅== 压力中心D :方法一:dA θy γy ydF dM sin ==3sin sin sin 322L B θγBdy y θγdA y θγM LA===⎰⎰D Fy M = L F M y D 32/==∴ 方法二: 62212123LL BL L BL L A y J y y c cx c D +=+=+=例7:如图,已知一平板,长L,宽B,安装于斜壁面上,可绕A 转动。

已知L,B,L 1,θ。

求:启动平板闸门所需的提升力F 。

解:BL θL γf sin 211=BL θL γf sin 12=232cos 21Lf L f FL ⋅+⋅≥∴θ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥∴212132cos 1f f F θ例8:平板A B,可绕A 转动。

长L=2m,宽b=1m,θ=60°,H 1=1.2m,H 2=3m 为保证平板不能自转,求自重G 。

解: N θH b H γF 8153sin 2111== N bL θL γF 169862sin 2== NbL θL H γF 24870)sin (23=-=0232sin 31cos 23211≥-⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+L F L F θH L F θL GNG 69954≥∴例9:与水平面成45°倾角的矩形闸门AB (图1),宽1m ,左侧水深h 1 = 3m ,右侧水深h 2 = 2m ,试用图解法求作用在闸门上的静水总压力的大小和作用点。

解:如图2所示,作出闸门两侧的静水压强分布图,并将其合成。

AE h h m EB h m =-=====122451451414452452828sin sin .()sin sin .()°°°°)(943.0414.13232)(93.61414.1)23(8.921)(2112111m AE AD KN b AE h h b P =⨯===⨯⨯-⨯⨯=⋅⋅-=⋅Ω=γ)(71.271828.2)23(8.9)(2122KN b BE h h b P =⨯⨯-⨯=⋅⋅-=⋅Ω=γED EB m AD AE ED m 222121228281414141414142828==⨯==+=+=..()...()静水总压力:P P P KN =+=+=1269327713464...() 设合力的作用点D 距A 点的距离为l ,则由合力矩定理:()m P AD P AD P l AD P AD P l P 45.264.34828.271.27943.093.622112211=⨯+⨯=⋅+⋅=∴⋅+⋅=⋅即,静水总压力的作用点D 距A 点的距离为2.45m 。

例10:如图,一挡水弧形闸门,宽度为b (垂直于黑板),圆心角为θ ,半径为R ,水面与绞轴平齐。

试求静水压力的水平分量F x 与铅垂分量F z 。

解: θbR θR γF x sin sin 21⋅= 压力体如图所示: ⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=θR θR R ππθb γF z cos sin 2122图1图2例11:一球形容器由两个半球铆接而成(如图1所示),铆钉有n 个,内盛重度为γ的液体,求每一铆钉所受的拉力。

解:如图2所示,建立坐标系xoyz 取球形容器的上半球面ABC 作为研究对象,显然由于ABC 在yoz 平面上的两个投影面大小相等、方向相反,故x 方向上的静水总压力P x =0;同理P y =0。

即:ABC 仅受铅垂方向的静水总压力P V z P =γ而: V V V P =-园柱半球)3()32(32)(3421)(223232RH R R H R R R H R R R H R R +=-+=-+=⨯-+=ππππππ故: P V R H RZ P ==⋅+γγπ23() 方向铅垂向上,即铆钉受拉力。

每一铆钉所受的拉力为:F P n n R H R Z Z ==⋅+132γπ() 第三章例1:已知u =-(y+t2), v =x+t ,w =0。

求t=2,经过点(0,0)的流线方程。

解:t=2时, u =-(y+4), v =x+2, w =0 流线微分方程:2)4(+=+-x dyy dxc y x =+++∴22)4(21)2(21 流线过点(0,0) ∴ c=10 流线方程为: (x+2)2+(y+4)2=20例2:已知某流场中流速分布为:u = -x , v = 2y ,w = 5-z 。

求通过点(x,y,z)=(2,4,1)的流线方程。

解: 流线微分方程为:wdzv dy u dx == zdzy dy x dx -==-∴52图1图2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==-∴---=⋅=-∴z z d xdx y y d x dx z z d y y d x dx 5)5(2)2(215)5(2)2(21由上述两式分别积分,并整理得: ①⎪⎩⎪⎨⎧=-+=05221c z c x c y x即流线为曲面1c y x =和平面x c z c +-=2250的交线。

将(,,)(,,)x y z =241代入①可确定21c c 和:21421==∴c c ,故通过点(2,4,1)的流线方程为: ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=0524z x y x例3.求小孔出流的流量:解:如图,对断面0-0和断面1-1列伯努利方程,不计能量损失,有:gV αγp z g V αγp z a 22211120000++=++()gh z z g V 22101=-=∴gh A μA V μQ 21==∴上式中:A 为小孔的面积, A 为1-1断面的面积。

例4.用文丘里流量计测定管道中的流量:解:如图,在1-1及2-2断面列伯努利方程,不计能量损失有:gV αγp z g V αγp z 222222221111++=++ 2211A V A V =由于:⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-γp z γp z A A g V 221121222212故:()()()34422311z z γz z γp z z γp -'+-+=-+又()()342234221111z z ρργp z z z γγγp z γp z -⎪⎪⎭⎫⎝⎛-'++=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'++=+∴h ρρA A g V ∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴112212222 ()()2122121A A hg ρρV -∆-'=∴22A V μQ =∴:考虑能量损失及其它因素所加的系数。

<1。

例5:输气管入口,已知:ρ’=1000kg/m 3,ρ=1.25kg/m 3,d = 0.4m ,h = 30mm 。

求:Q = ?解:对0—0和1—1断面列伯努利方程,不计损失,有: gV αγp z γp z a 2211110++=+ a p h γp z z α='+==1101,,0.1又因为:s m gh ρρgh γγV /784.21221='='=∴s m d πV Q /737.24321==∴例6:如图,已知:V 1 、 A 1 、 A 2 ; θ;相对压强p 1 ;且管轴线在水平面内,试确定水流对弯管的作用力。

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