第四章 非线性微分方程基本理论
4.1 存在与唯一性定理
4.2 解的延拓 4.3 解对初值和参数的连续性和可微性
初值问题解的存在唯一性：
dy f x, y dx y x0 y0
我们有下述定理
定理4.1 设 f x, y 满足下列两个条件
（1）函数 f在区域G中连续 （2）偏导数 f y 在G中存在且连续
如果 f (x, y)在整个 x y 平面上定义、连续和有界，
存在关于 y 的一阶连续偏导数，则方程
dy f ( x, y ) dx
的任一解均可以延拓到区间 (,)。 证明
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0
y ( x) K ( x) K
无界，或者 ( x, ( x)) 趋于区域 G 的边界。
引理4.1（Bellman不等式）
设 u( x)与g ( x) 为闭区间 a, b 上的非负连续函数，如果存在常数
M 0, x0 a, b 使得
u ( x) M
则有

x
x0Biblioteka u ( s ) g ( s )ds , a x b
u ( x) Me
x0 g ( s ) ds
x
,a x b
证明
x x0
h( x) M u(s) g (s)ds
x0
x
h( x) -u( x) g ( x) -h( x) g ( x), a x x0
或
g ( s ) ds x0 h( x ) e 0, a x x0
的解，若 y ( x) x [a1 , b1 ]
[a, b] [a1 , b1 ] ，当 x [a, b] 时， ( x) ( x)
则称解 ( x) 是解 ( x) 在区间 [ a, b] 上的延拓。
解的延拓定理
如果方程(3.1)右端的函数 f ( x, y) 在有界区域 G 中连续，且在 G 内满足局部利普希兹条件，那么 方程(3.1)通过G 内任何一点 ( x0 , y0 )的解 y ( x) 可以延拓。 直到点 ( x, ( x)) 任意接近区域G 的边界。 以向 x 增大的一方的延拓来说，如果

x
对上述不等式在 x, x0 上积分

h( x)e
故有
x0 g ( s ) ds
x
h( x0 ) M , a x x0
u( x) h( x) Me
x0 g ( s ) ds
x
, a x x0
例
设(x, y)∈D：|x+1|≤1，|y|≤1，求初值问题
dy 2 2 x y dx y -1 0
13
f ( x, y) K
所以
y ( x) 值域在两条直线夹角内，否则
y
y ( x) 将穿过直线
y y0 K ( x x0 ) y y0 K ( x x0 )
则会有
y y0 K ( x x0 )
( x) K
y0
y ( x)
与 f ( x1 , y1 ) K 矛盾。
的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计
解
2 2 设 f x, y =x y 显然，方程在D上满足解的存在唯一性定理的条件
M max f ( x, y) 4, a 1, b 1
b 1 1 h min a, =min 1, M 4 4
L max
f
y
: x, y R

f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2 , ( x, y1),( x, y2 ) R
称函数在R上关于y满足利普希茨条件，同时称L为 函数在R上的利普希茨常数
定理4.2 设函数
f ( x, y)定义于 R : x x0 a, y y0 b
方程过（-1，0）的解的存在区间为 x 1
1 5 4 ,即 x 4 4 3
0 ( x) 0
x2 1 1 ( x) x dx 1 3 3 x x2 1 x 7 x 4 x 3 x 11 2 2 ( x) x dx 1 63 18 3 9 42 3 3
x o x0 x1
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由解的延拓定理推论，方程的 任一解均可以延拓到区间 (,) 。
y y0 K ( x x0 )
谢谢大家
则对于G中任一内点 ( x0 , y0 ) ，必存在h>0，使初值问题存在唯一的定义于区间
x0 h, x0 h 的解 y ( x) ，且当
x x0 h时点 ( x, ( x)) 位于G内
R : x x0 a, y y0 b 包含于G
f 与 f y 均在R上存在且连续
且满足下列两个条件：
（1）函数 （1）函数
f
在R中连续 在R中满足利普希茨条件，即存在常数L>0使得
f
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2 , ( x, y1),( x, y2 ) R 成立
则初值问题存在唯一的定义于区间 x0 h, x0 h 的解，其中
x 2
在区间 x 1
1 ，误差为 4
ML2 4 L2 1 3 2 ( x) ( x) h (2 1)! 3! 43
f 4 22 1 1 取 2 y 2 L, 所以 2 ( x) ( x) y 3! 43 24
例
用解的延拓定理证明
y ( x)
只能延拓的区间 x0 x m上，则当
( x, ( x)) 趋近于区域 G 的边界。
x m时，
推论
如果 G 是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下, 方程(3.1)的通过点 ( x0 , y0 )的解 y ( x) 可以延拓， 以向 x 增大的一方的延拓来说，有下面的两种情况: (1) 解 y ( x) 可以延拓到区间 [ x0 ,) (2) 解 y ( x)只可以延拓到区间 [ x0 , m) 其中m 为有限数，则当 x m 时，或者 y ( x)
b h min a, , M max f x, y : x, y R M
定义
设 y ( x) x [a, b] 是
dy (3.1.1) f ( x, y)......... dx ...(3.1.2) ( x0 ) y 0 ..........