则初值问题(3.3)的解不存在. 证明: (1) 当 y 0 时, y 0. 由此可得常数解 y c,(c 0), 它不 满足初始条件, 所以这些常数都不是该初值问题的解. (2) 当 y 0 时, y 1, 但是 y 0 不是方程 y 1 的解,
因此该初值问题的解不存在. 注: 此例说明如果希望初值问题(3.3)的解存在, 一般要求函数
解中取c为任意非负实常数的解.
注: 此例说明仅由函数 f ( x, y) 的连续性, 一般不足以保证初 值问题(3.3)解的存在惟一性.下面给出的初值问题(3.3)的 解的存在惟一性定理，又称为皮卡(Picard) 定理.
定理3.1 设给定微分方程(3.1), 假设 f ( x, y) 满足如下条件:
a x
则成立
u( x) cek ( xa )， a x b.
注:在初值问题的研究中,常常需要估计解的界,微分不等式
是常用的工具之一. 灵活应用微分不等式是研究解的各种
属性的最重要的技巧之一.
§3.2 存在惟一性定理 问题：什么条件能够保证初值问题(3.3)解的存在和惟一?
1, y 0 2 G R , ( x , y ) (0,0) 和 f ( x , y ) u ( y ) ， ， 例3.1 设 其中 u ( y) 0 0 0, y 0
微分方程的基本理论
考虑初值问题
本章的基本内容：在一定的条件下, 给出初值问题解的存在性,
y f ( x, y ), y ( x0 ) y0 .
3.3
惟一性, 延拓性; 以及解对初值的连续依赖性和可微性的定理,
建立起微分方程基本理论的框架.
§3.1 微分不等式
Gronwall 不等式 如果c是实数, h( x) 0 和 u( x) 在区间 [a,b] 上都连续, 满足 则成立
1. 在矩形域
R {( x, y) :| x x0 | a, | y y0 | b, a 0, b 0} 上连续;
3.4
2. 在 R 上关于变量y满足李普希茨(Lipschitz)条件, 即对于R 上任意两点( x, y1 ) 和 ( x, y2 ), 成立不等式
| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 |,
记
q( x) : ( x) ( x)h( x) 0.
( x) h( x)( x) q( x)
利用常数变易公式(2.23), 求解方程 可得
( x
a
x
h ( s )ds

x a
q(t )e

a h ( s )ds
t
u ( x) c u (s)h( s)ds， a x b，
a
x
u( x) ce
a h ( s )ds
x
， a x b.
证明:记 ( x) : c a u ( s)h( s)ds, 则 u( x) ( x),
且有
x
( x) u( x)h( x) ( x)h( x).
dt.
a h ( s )ds
x
注意到 q( x) 0 和 (a) c, 所以上式为 ( x) ce 进而有
.
u( x) ce
a h ( s )ds
x
.
推论: (贝尔曼不等式)
如果 c 和 k 0 是实数, u ( x) 在区间 [a,b] 上连续, 满足
u ( x) c k u (s)ds， a x b，
且由(3.7)可知 ( x) 可微. 两边对x求导, 即得 ( x) f ( x, ( x)), 所以 y ( x) 是初值问题(3.3)在区间I上的解.
定理3.1的证明: 由引理3.2, 只要证明积分方程(3.6)的连续 解存在惟一即可. 1. 根据积分方程(3.6), 构造如下序列
f ( x, ( x)) 在区间I上连续. 从 x0 到x积分恒等式 ( x) f ( x, ( x))
可得
( x) y0 f (s, (s))ds,
x0
x
3.7
即 y ( x) 是积分方程(3.6)的连续解.
反之, y ( x) 是积分方程(3.6)的连续解, 则 ( x0 ) y0 ,
f ( x, y) 连续.
2 此时初值问 例3.2 设 G R , ( x0 , y0 ) (0,0) 和 f ( x, y) 2 y，
题(3.3)的解存在但不惟一.
证明: 该方程的通解是：
( x c) 2 , y 0,
x c, x c.
其中c是任意实常数.而满足初始条件的解是特解y=0及通
3.5
其中 L 0 称为Lipschitz常数. 则初值问题(3.3)至少在区间 I {x :| x x0 | h} 上存在惟一解 b y ( x), 其中 h min{a, }, M max | f ( x, y) | . ( x , y )R M
证明思想: 从初值 y0 开始, 构造Picard逐次逼近序列 {n ( x)}, 并证明该序列 {n ( x)} 在I上一致收敛, 则其极限函数 即为初值问题(3.3)的解.
( x)
引理3.1 求初值问题(3.3)的解与求积分方程 的连续解等价.
y( x) y0 f (s, y(s))ds
x0 x
3.6
证明:设 y ( x)是初值问题(3.3)在区间I上的解, 即
( x) f ( x, ( x)), x I ,
且满足 ( x0 ) y0 . 这时 ( x)可微, 由假设 f ( x, y) 在 R 上连续, 所以
0 ( x) y0 , x I
1 ( x) y 0 f ( s, 0 ( s))ds, x I
x0 x

n1 ( x) y0 f ( s, n ( s))ds, x I