第八节 二阶常系数齐次线性微分方程
教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种
情况，通解的三种不同形式。
教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。
教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。
教学内容：
若 22()()0d y dy
P x Q x y dx dx
++= （1） 中(),()P x Q x 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，而(1)称之为二阶变系数齐次微分方程。
记： '''0y py qy ++= （2）
将rx
y e =代入（2）中有2
()0rx
r pr q e ++=，称2
0r pr q ++=为（2）的特征方程。
2
0r pr q ++= （3） 设12,r r 为（3）的解。
（1）当12r r ≠即2
40p q ->时，1212r x
r x
y C e C e =+为其通解。
（2）当12r r r ==即2
40p q -=时，（3）只有一个解rx
y Ce =。
（3）当r i αβ=±即240p q -<时，有()i x
y e αβ±=是解。
利用欧拉公式可得实解，故通解为
12(cos sin )x y e C x C x αββ=+。
求二阶常系数齐次线性微分方程
'''0y py qy ++= （2）
的通解的步骤如下：
1． 写出微分方程（2）的特征方程
2
0r pr q ++= （3） 2． 求出特征方程（3）的两个根1r 、2r 。
3． 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：
例1 求微分方程230y y y ''--=的通解。
解 所给微分方程的特征方程为
2230r r --=
其根121,3r r =-=是两个不相等的实根，因此所求通解为
312x x y C e C e -=+
例2 求方程222
0d s ds
s dt dt
++=满足初始条件0|4t s ==，0|2t s ='=-的特解。
解 所给方程的特征方程为
2210r r ++=
其根121r r ==-是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为
()12t s C C t e -=+
将条件0|4t s ==代入通解，得14C =，从而
()24t s C t e -=+
将上式对t 求导，得
()224t s C C t e -'=--
再把条件0|2t s ='=-代入上式，得22C =。
于是所求特解为
()42t s t e -=+
例3 求微分方程250y y y '''-+=的通解。
解 所给微分方程的特征方程为
2250r r -+=
其根1,212r i =±为一对共轭复根，因此所求通解为
()12cos2sin 2x y e C x C x =+
例4 在第七节例1中，设物体只受弹性恢复力f 的作用，且在初瞬0t =时的位置为0x x =，初始速度为
00|t dx
v dt
==。
求反映物体运动规律的函数()x x t =。
解 由于不计阻力R ，即假设0dx
dt
μ-=，所以第八节中的方程（1）成为
22
20d x k x dt
+= （4） 方程（4）叫做无阻尼自由振动的微分方程。
反映物体运动规律的函数()x x t =是满足微分方程（4）及初始条件
0000|,
|t t dx
x x v dt
====的特解。
方程（4）的特征方程为2
2
0r k +=，其根r ik =±是一对共轭复根，所以方程（4）的通解为
12cos sin x C kt C kt =+。
应用初始条件，定出0
102,v C x C k
==。
因此，所求的特解为 00cos sin v
x x kt kt k
=+。
（5） 为了便于说明特解所反映的振动现象，我们令
0sin ,
cos ,(02)v x A A k
ϕϕϕπ==≤< 于是（5）式成为
sin()x A kt ϕ=+，
（6）
其中 00
tan kx
A v ϕ==。
函数（6）的图形如图12-14所示（图中假定000,0x v >>）。
函数（6）所反映的运动就是简谐振动。
这个振动的振幅为A ，初相为ϕ，周期为2T k
π
=
，
角频率为k ，由于k =
（见第八节例1），它与初始条件无关，而完全由振动系统（在
本例中就是弹簧和物体所组成的系统）本身所确定。
因此，k 又叫做系统的固有频率。
固有频率是反映是振动系统特性的一个重要参数。
例5 由第七节例1中，设物体受弹簧的恢复力f 和阻力R 的作用，且在初瞬0t =时的位置
0x x =，初始速度
0dx
v dt
=，求反映物体运动规律的函数()x x t = 解 222
0000
d d 20d d d ,d t t x x
n k x t
t x x x v t ==⎧++=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
小阻尼情形 n < k
12(cos sin )nt x e C t C t ωω-=
+(ω=
令 00
0sin ,cos (02)v nx x A ϕϕϕπω
+==≤<
则sin()nt
x Ae
t ωϕ-=+
其中A ω==运动周期2;T π
ω
=
振幅: nt Ae -衰减很快随时间 t 的增大物体趋于平衡位置
大阻尼情况n > k
1212r t r t
x C e C e =
+1,2r n =-其中()22n n k =--
无振荡现象，对任何初始条件lim ()0.t x t →+∞
=即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置 临界阻尼情况n = k
12()nt x C C t e -=+
任意常数由初始条件定, 12,C C 无论取何值都有
()x t 最多只与 t 轴交于一点，无振荡现象 ，12lim ()lim()0.nt t t x t C C t e -→+∞
→+∞
=+=
即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置 可扩展到n 阶常系数微分方程()
(1)110()n n n n k y
p y p y p y p --'++++=均为常数
特征方程: 1
110n n n n r a r a r a --++
++=
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
112()k r x k C C x C x e -++
+
若特征方程含 k 重复根,r i αβ=±则其通解中必含对应项
111212[()cos ()sin ]x k k k k e C C x C x x D D x D x x αββ--++++++++
若特征方程单实根r 则其通解中必含对应项rx Ce
若特征方程一对单复根1,2r i αβ=±则其通解中必含对应项12(cos sin )x
e C x C x αββ+
例6 解方程052)
4(=''+'''-y y y
通解为 1234(cos 2sin 2)x
y C C x e C x C x =+++
例7 4
44
d 0(0).d w w x ββ+=>解方程
解: 特征方程44r β+= 22222
()20r r ββ+-=
即2222
()()0r r r r ββ++=
其根为
1,23,4),)r i r i =±=±
方程通解
1234()()w C x C x e
C x C =+++
小结与思考：
本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及当
特征根形式不同时，通解具有不同形式。
用特征根法求二阶常系数齐次线性微分方程
0=+'+''qy y p y 的通解的方法和步骤为：
①写出微分方程的特征方程02=++q pr r ；
②求出特征方程的根，即特征根1r 和2r ；
③根据特征根的不同情况，写出微分方程的通解，即当042
>-=∆q p 时，微分方程
的通解x
r x
r e
C e C Y 21
21+=；当042=-=∆q p 时，微分方程的通解x
r x r xe C e C Y 1
121+=；
当
042
<-=∆q p 时，将特征根1r 和2r 记为i βα±，微分方程的通解x e C x e C Y x x ββααsin cos 21+=
作业：
作业见作业本。