类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法
——直接法、间接法一网搜罗
◆类型一三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明
1．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E，连接AG.
(1)求证：AG＝CG；
(2)求证：AG2＝GE·GF.
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.
(1)若FD＝2FB，求
FD
FC的值；
(2)若AC＝215，BC＝15，求S△FDC的值．
◆类型二利用等线段代换
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB
＝∠ACB.求证：
AB
AE ＝
AC
AD.
◆类型三找中间比利用等积式代换
4．如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP，垂足为G，交CE于D，求证：CE2＝PE·DE.
参考答案与解析
1．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠F
＝∠FCD.在△ADG与△CDG中，
⎩⎪
⎨
⎪⎧
AD＝CD，
∠ADG＝∠CDG，
DG＝DG，
∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝
∠DCG，AG＝CG.
(2)∵∠EAG＝∠DCG，∠F＝∠DCG，∴∠EAG＝∠F.又∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴
AG
FG＝
EG
AG，∴AG
2＝GE·GF.
2．解：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ABC＝∠DCB＋∠ABC，∴∠A＝∠DCB.∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，∴ED＝EA，∴∠A＝∠EDA.∵∠BDF＝∠EDA，∴∠DCB＝∠BDF.又∵∠F＝∠F，∴△BDF∽△DCF，∴FD∶CF＝BF∶FD＝1∶2.
(2)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ACB.∵∠ABC＝∠CBD，∴△BDC∽△BCA，∴BD∶CD＝BC∶AC＝15∶215＝1∶2.在Rt△BAC中，由勾股定理可得AB＝53，∴
S△BDC
S△BCA
＝
BC2
AB2＝
1
5，∴S△BDC＝
1
5×
1
2×215×15＝3.∵△BDF∽△DCF，∴
S△FBD
S△FDC
＝⎝⎛⎭⎫
BD
CD
2
＝
1
4，即
S△BDC
S△FDC
＝
3
4.∵S△BDC＝3，∴S△FDC＝4.
3．证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴
AB
AE＝
AC
AB.又∵AB＝AD，∴
AB
AE＝
AC
AD.
4．证明：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCE，∴Rt△ACE∽Rt△CBE，∴
CE
BE＝
AE
CE，∴CE
2＝AE·BE.又∵BG⊥AP，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DGP＝∠PEA＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠3，∴△AEP∽△DEB，∴
PE
BE＝
AE
DE，∴PE·DE＝AE·BE，∴CE
2＝PE·DE.。