上海市徐汇区2017届高三二模数学试卷
2017.4
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 设全集{1,2,3,4}U =，集合2{|540,}A x x x x Z =-+<∈，则U C A =
2. 参数方程为2
2x t y t ⎧=⎨=⎩
（t 为参数）的曲线的焦点坐标为 3. 已知复数z 满足||1z =，则|2|z -的取值范围是
4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213n n S a =-
*()n N ∈，则lim n n S →∞= 5. 若1()2n x x
+*(4,)n n N ≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n = 6. 把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一 张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为 （结果用最简分数表示）
7. 若行列式1
24cos sin 022
sin cos 8
22x x
x x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 取值集合为 8. 满足约束条件||2||2x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是
9. 已知函数2log ,02()25(),23
9x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是
10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200、8300、8500、9100、9500、9600 （单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8 位员工月工资的中位数可能的最大值为
11. 如图：在△ABC 中，M 为BC 上不同于B 、C 的任
意一点，点N 满足2AN NM =，若AN xAB yAC =+，
则229x y +的最小值为
12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数 (())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”，已
知定义域为[,]a b 的函数2()|3|
h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的 一个“保值域函数”， ()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. “1x >”是“11x
<”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺， 高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的 四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？” 已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ）斛
A. 21
B. 34
C. 55
D. 63
15. 将函数1y x
=-
的图像按向量(1,0)a =平移，得到 的函数图像与函数2sin y x π=(24)x -≤≤的图像的 所有交点的横坐标之和等于（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
16. 过椭圆22
14
x y m m +=-(4)m >右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）
A. 一条射线
B. 两条射线
C. 双曲线的一支
D. 抛物线
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，
2PA AD ==. （1）求异面直线PC 和AB 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC .
18. 已知函数41()2x x
m f x ⋅+=是偶函数. （1）求实数m 的值；
（2）若关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围.
19. 如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的 A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且:3:1BC AB =，一架无人机 在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得30APB ︒∠=，90BPC ︒∠=. （船只与无人机的大小及其他因素忽略不计）
（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；
（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离.（精确到1米）
20. 如图：椭圆2
212
x y +=与双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>有相同的焦点1F 、2F ，它们 在y 右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=，将直线AB 左侧的椭圆部分（含A 、B 两 点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A 、B 两点）记为曲线2W ，以1F 为端 点作一条射线，分别交1W 于点(,)P P P x y ，交2W 于点(,)M M M x y （点M 在第一象限），设 此时11F M mF P =.
（1）求2W 的方程；
（2）证明：1P x m
=
，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系； （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求△1MF N 的面积S 的取值范围.
21. 现有正整数构成的数表如下：
第一行：1
第二行：1 2
第三行：1 1 2 3
第四行：1 1 2 1 1 2 3 4 第五行：1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5
…… …… ……
第k 行：先抄写第1行，接着按原序抄写第2行，然后按原序抄写第3行，…，直至按原序 抄写第1k -行，最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1、2，接着按原序抄写第三行的数1、1、2、3，最后添上数4）
将按照上述方式写下的第n 个数记作n a （如11a =，21a =，32a =，41a =，…，73a =， …，143a =，154a =，…）
（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；
（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；
（3）令123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+，求2017S 的值.
参考答案
一. 填空题
1. {1,4}
2. (1,0)
3. [1,3]
4. 1
5. 8
6. 710
7. {|2,}3x x k k Z ππ=±
∈ 8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25
12. 1
二. 选择题
13. A 14. A 15. D 16. C
三. 解答题 17.（1）3；（2）略. 18.（1）1m =；（2）1[,1]3. 19.（1）:2:3c a =；（2）275米.
20.（1）2212
x y -=(1)x >；（2）22PF MF k k =-；（3）2,)+∞. 21.（1）12k k t -=，21k k T =-；（2）0200n =，02n a =；（3）3986.。