2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 2018.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .3．函数()lg(32)x x f x =-的定义域为_____________． 4．已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = . 5．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________． 6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．7．函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 .11．若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 ．12．已知向量,a b 满足||a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为 .NMD 1C 1B 1A 1DCBA二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。

考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是--------（ ）（A ）菱形（B ）矩形 （C ）直角梯形（D ）等腰梯形14. 若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为12，且a S n n =∞→lim ，(n ∈*N )，则复数ia z +=1（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于----------（ ）（A ）第一象限． （B ）第二象限． （C ）第三象限． （D ）第四象限． 15．在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的------------（ ）（A ） 充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ） 充要条件（D ）既不充分也不必要条件16．如图，圆C 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴相切于点,A B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于点,M N ，若点(2,1)Q 是切线上一点，则MON ∆周长的最小值为------------------------------------------------------------------( ) （A ）10 （B ）8 （C ）45 （D ）12三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图在长方体1111D C B A ABCD -中，2AB =，4AD =，121AC =，点M 为AB 的中点，点N 为BC 的中点．（1）求长方体1111D C B A ABCD -的体积；（2）求异面直线M A 1与N B 1所成角的大小（用反三角函数表示）．18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)如图：某快递小哥从A 地出发，沿小路AB BC →以平均时速20公里/小时，送快件到C 处，已知10BD =（公里），045,30DCB CDB ∠=∠=，ABD ∆是等腰三角形，0120ABD ∠=．（1） 试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C 处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD DC →追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C 处？19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知函数2()31f x x tx =-+，其定义域为[0,3][12,15]， (1) 当2t =时，求函数()y f x =的反函数；(2) 如果函数()y f x =在其定义域内有反函数，求实数t 的取值范围．20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)如图，,A B 是椭圆22:12x C y +=长轴的两个端点，,M N 是椭圆上与,A B 均不重合的相异两点，设直线,,AM BN AN 的斜率分别是123,,k k k . (1)求23k k ⋅的值； (2)若直线MN 过点2,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求证：1316k k ⋅=-； (3)设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t (t 为常数且0t ≠)，试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．AB CD21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知数列{}n a 的前n 项和n A 满足*11()12n n A A n N n n +-=∈+，且11a =，数列{}n b 满足*2120()n n n b b b n N ++-+=∈，32b =，其前9项和为36．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)当n 为奇数时，将n a 放在n b 的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将n b 放在n a 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1122334455,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b ⋅⋅⋅，求该数列的前n 项和n S ； (3)设1n n nc a b =+，对于任意给定的正整数()2k k ≥，是否存在正整数,()l m k l m <<，使得,,k l m c c c 成等差数列？若存在，求出,l m (用k 表示)；若不存在，请说明理由．2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科参考答案及评分标准2018.4一． 填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分 １．]3,1[- 2．20 3．(0,)+∞ 4．1 5．16π 6．1- 7．π 8．15π 9．16 10． 2220x y x y +--= 11．114⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12．815 二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分）13．A 14．D 15．B 16．A三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】（1） 连AC 、1AC ． ABC ∆是直角三角形，∴AC ==1111D C B A ABCD -是长方体，∴BC C C ⊥1，CD C C ⊥1，又C BC DC =⋂， ∴⊥C C 1平面ABCD ，∴AC C C ⊥1．又在1ACC Rt ∆中，1AC =，AC =∴11CC =，END 1C 1B 1A 1D CBA∴11118ABCD A B C D V -=．--------6分（2）解法一：如图建立空间直角坐标系则()14,0,1A 、()4,1,0M 、()14,2,1B 、()2,2,0N ，所以()10,1,1A M =-、()12,0,1B N =--，10分则向量1AM 与1B N 所成角θ满足111110cos 10A MB N A M B Nθ⋅==⋅． ∴异面直线M A 1与N B 1所成的角等于arccos10．14分 解法二：取AD 的中点E ，连E A 1、EM ．11////B A AB EN ，∴四边形NE B A 11为平行四边形，N B E A 11//∴，∴M EA 1∠等于异面直线M A 1与N B 1所成的角或其补角．----------------------------------------9分1AM =，2AE =，11=AA ，得1AM =，1AE=，5=EM ，∴1cos EA M ∠==110EA M ∠=． ∴异面直线M A 1与N B 1所成的角等于．----------------------------14分 18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 【解】（1）10AB=（公里），BCD ∆中，由00sin 45sin30BD BC=，得BC =-------------------2分 于是，由106051.215020+≈>知， 快递小哥不能在50分钟内将快件送到C 处．---------------------------------------6分（2）在ABD ∆中，由22211010210103002AD ⎛⎫=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭， 得AD =（公里），------------------------------------------------------------8分在BCD ∆中，0105CBD ∠=，由0sin105CD =得(51CD =+（公里），-----------------------------------------------------10分由(5160152045.9851.2160⨯+=+≈<（分钟）知，汽车能先到达C 处．-----------------------------------------------------------14分19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】(1) 3[8,1]3[73,136]x y x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩； ------------------------------------------------------6分(2)01 若302t ≤，即0t ≤，则()y f x =在定义域上单调递增，所以具有反函数；---8分02 若3152t≥，即10t ≥，则()y f x =在定义域上单调递减，所以具有反函数；--10分03 当33122t ≤≤，即28t ≤≤时，由于区间[]0,3关于对称轴32t的对称区间是[]33,3t t -，于是当312332t t <⎧⎪⎨≥⎪⎩或33153122t t ->⎧⎪⎨≤⎪⎩，即[)2,4t ∈或(]6,8t ∈时， 函数()y f x =在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数． 综上，(,0][2,4)(6,8][10,)t ∈-∞+∞．------------------------------------------14分20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 【解】(1)设00(,)N x y，由于(A B ，所以2023202y k k x ⋅==-，因为00(,)N x y 在椭圆C 上，于是220012x y +=，即220022x y -=-，所以202320122y k k x ⋅==--.------------------------------------------------------------------4分(2)设直线:2MN x my =+1122(,),(,)M x y N x y，由22222x my x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得223(2)02m y +-=，于是()1212223,222y y y y m m +=-⋅=-++，------------------------------------6分13k k ⋅==()()()222222332212396322222222m m m m m m --+===---++++．10分(3)由于直线MN 与x 轴的交点为(,0)t ，于是:MN x my t =+，联立直线:MN x my t =+与椭圆22:12x C y +=的方程，可得 222(2)220m y mty t +++-=，于是212122222,22mt t y y y ym m -+=-⋅=++.-------------------------------------------------12分因为直线:AM y x =，直线:BNy x =，两式相除，可知2211y y y y===212221222()222(2t mtm t y m m t m t y m -⋅++--++==-⋅++2==， 于是2xt =，所以2x t =，即直线AM 与直线BN 的交点Q 落在定直线2x t=上．16分21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 【解】答案：(1)因为*11()12n n A A n N n n +-=∈+，于是数列n A n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列， 所以1122n A n n =+，即*(1)()2n n n A n N +=∈， 当2n ≥时，1n n n a A A n -=-=，又因为11a =，所以*()n a n n N =∈.--------------2分 又因为*2120()n n n b b b n N ++-+=∈，于是数列{}n b 是等差数列，设{}n b 的前n 项和为n B ，由于95936B b ==，则54b =，由于32b =，所以1(*)n b n n N =-∈．---------------------------------------------------------------------------------4分(2)数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n A +=，数列{}n b 的前n 项和(1)2n n nB -=．----5分 当2(*)n k k N =∈时，22(1)(1)22n k k k k k k kS S A B k +-==+=+=；-----------6分 当43(*)n k k N =-∈时，2432122(21)(23)(1)463n k k k S S A B k k k k k k ---==+=-+--=-+；----------7分当41(*)n k k N =-∈时，241212(21)(21)42n k k k S S A B k k k k k k --==+=-+-=-；------------------------8分所以2221,243,4341,414n n n k n S n k n n k ⎧=⎪⎪+⎪==-⎨⎪⎪-=-⎪⎩，其中*k N ∈．------------------------------------------------10分 (3)由(1)可知，121n c n =-. 若对于任意给定的正整数()2k k ≥，存在正整数,()l m k l m <<，使得,,k l m c c c 成等差数列，则2l k m c c c =+，即211212121l k m =+---，---------------------------------------11分 于是121421212121(21)(21)k l m l k l k --=-=-----，所以222(1)(214)(21)421421kl k l k l k k m k l k l +--+-+-==----2(21)1421k k k l -=-+--，即2(21)1421k m k k l -=+---，------------------------------------------13分 则对任意的()2,k k k N *≥∈，421k l --能整除2(21)k -，且4210k l -->. 由于当2k ≥时，21k -中存在多个质数，所以421k l --只能取1或21k -或()221k -------------------------------------------------14分 若4211k l --=，则21l k =-，2452m k k =-+，于是2473(43)(1)0m l k k k k -=-+=-->，符合k l m <<；----------------------------15分若42121k l k --=-，则k l =，矛盾，舍去；---------------------------------------------16分 若2421(21)k l k --=-，则2m k +=，于是0m ≤，矛盾．-------------------------------17分 综上，当2k ≥时，存在正整数221,452l k m k k =-=-+，满足k l m <<，且使得,,k l m c c c 成等差数列．-----------------------------------------------------------------------------------------------------18分。