利用导数研究方程的根
方程的根就是与之对应的函数的零点,通过导数的方法研究函数的性质后可以确定函数零点的情况,这就是使用导数的方法研究方程的根的基本思想.利用导数研究方程根的过程中用的主要数学思想方法就是数形结合,即首先通过导数研究函数的性质,根据函数的性质画出函数的图像,然后根据函数的图像确定方程根的情况.本题型作为高考题型在逐年升温,现从近几年高考试题中列举数例作分类探讨如下:
一、函数y=f(x)的图像与x轴的交点问题.
1、(09江西)设函数f(x)=−+6x−a
⑴对于任意的实数x ,(x)≥m恒成立,求m的最大值.
⑵若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.
解析: ⑴略
⑵(x)=3−9x+6=3(x−1)(x−2)
因为当x<1时,(x)>0 ;当1<x<2时,(x)<0 ;当x>2时,(x)>0 所以当x=1时, f(x)取得极大值,f(1)=− a ;当x=2时
f(x)取得极小值f(2)=2−a
y=f(x)草图如下:
1
要使f(x)=0有且仅有一个实根,必须且只需f(x)取得极小值f(2)>0或f(x)取得极大值f(1)<0 解得,a>或a<2 .
变式引申①若方程f(x)=0有且仅有两个实根,求a的取值范围
y=f(x)草图如下:
要使f(x)=0f(1)=0或f(x)取得极小值f(2)=0 解得a=2或a=
变式引申②要使f(x)=0有且仅有三个实根, 求a的取值范围
y=f(x)草图如下
要使f(x)=0有且仅有且只需极大值−
解得2
极小值−
从上题的解答我们可看出:用导数来探讨y= f(x)图像与x轴的交点问题,有以下几个步骤:
⑴、构造函数y= f(x)。

⑵、求导(x)。

⑶、研究函数f(x)的单调性和极值。

⑷、画出函数y= f(x)的草图,观察与x轴的交点情况,列出不等式或方程。

⑸、解不等式或方程,得解。

二、函数y= f(x)图像与直线y=b的交点问题
2、(2008江西)已知函数f(x)=+− +(a>0)
⑴、求函数y= f(x)的单独区间
⑵、若y= f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点,求a的取值范
围。

解:⑴略
⑵(x)=a−2x=x(x+2a)(x−a)其导函数的图像如下左图:
y
-2a
f(x)极小值=f(-2a)=-
f(x)极小值=f(a)=
f(x)极大值=f(0)=
y= f(x)的草图如上中图、右图,由图知,要使y= f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点,只要-<1<或
解得a>或0<a<1
变式引申: 若y= f(x)的图像与直线y=1有三个交点,求a的取值范围？四个交点呢？
三、函数y= f(x)图像与函数y=g(x)图像的交点问题
3、(2006福建)已知函数f(x)=-+8x , g(x)=6lnx+m
⑴求f(x)在区间[t ,t+1]上的最大值h(t)
⑵是否存在实数m,使得y= f(x)的图像与y=g(x)图像的图像有且只有三个不同的交点？若存在,求出m的取值范围,若不存在,说明理由。

解析:⑴略
⑵因为y= f(x)的图像与y=g(x)图像的图像有且只有三个不同的交点,所以方程f(x) =g(x)有三个不同的解,对应的函数
φ(x)= g(x)− f(x)= −8x+6lnx+m (注意x>0)的图像与x正半轴有且只有三个不同的交点,
因为−=
要使φ(x)=0有三个不同的正实数根,必须且只需极大值−
解得7<m<15-6ln3 极小值−
所以存在实数m,使得y= f(x)的图像与y=g(x)图像的图像有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7 , 15-6ln3)
变式引申:若y= f(x)的图像与y=g(x)图像的图像有且只有一个不同的交点,求m的范围? 有且只有两个不同的交点呢?
练习08年四川理22题;06四川文科21题;06福建文科21;
2011湖南。