利用导数研究方程的根和函数的零点--教案
利用导数研究方程的根和函数的零点
总结：①方程()0=x f的根()的零点
⇔
y=
f
函数x
()轴的交点的恒坐标
⇔
f
y=
x
函数x
的图像与
②方程()()x g
f=的根
x
()()的根
f
x
x
h-
⇔
=
g
=
x
方程0
-
⇔x
f()()()的零点
x
g
()()。
g
y=
x
⇔
=
的图象的交点的横坐标
与
函数x
f
y
1．设a为实数，函数
()a
3，当a什么范
-
f+
-
=2
x
x
x
x
围内取值时，曲线()x f
y=
与x轴仅有一个交点。
2、已知函数f(x)=－x2+8x,g(x)=6ln x+m
（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t); （Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。
解：（I）22
=-+=--+
()8(4)16.
f x x x x
当14,t +<即3t <时，
()
f x 在[],1t t +上单调递增，22
()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++
当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f ==当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，2
()()8.
h t f t t
t ==-+综上，
2267,3,
()16,34,
8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪
=≤≤⎨⎪-+>⎩
（II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数
()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三
个不同的交点。
22()86ln ,
62862(1)(3)
'()28(0),
x x x x m x x x x x x x x x x
φφ=-++-+--∴=-+==>Q
当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数；当(0,3)x ∈时，
'()0,()x x φφ<是减函数；
当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数；
当1,x =或3x =时，'()0.x φ= ()(1)7,()(3)6ln 315.
x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值
Q
当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ>
∴
要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交
点，必须且只须
()70,()6ln 3150,
x m x m φφ=->⎧⎪⎨=+-<⎪⎩最大值最小值 即7156ln3.m <<-所以存在
实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,156ln 3).- 3、已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。
（I ）求()f x 的解析式；
（II ）是否存在自然数,m 使得方程37()0f x x +=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。
恒成立问题：
4：已知函数()()0ln 2
>+-=a a x a x x f 在()∞+，
0满足()0≥x f 恒成立，求a 的取值范围。
5：已知函数
()(),
ln 2,22
x x x g x
a x x f +-=+=其中0>a ，若对于
(),
,0,21+∞∈∀x x
都有()()2
1
x g x f ≥恒成立，求a 的取值范围。
课后练习
2、已知函数3
()31,0
f x x
ax a =--≠
()I 求()f x 的单调区间；
()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线
y=m 与()y f x =的
图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。
.解析：（1）'22()333(),f x x a x a =-=-
当0a <时，对x R ∈，有'
()0,f x >
当0a <时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞ 当0a >时，由'
()0f x >解得x a <x a >
由'
()0f x <解得a x a
<
当0a >时，()f x 的单调增区间为(,),(,)
a a -∞+∞；()f x 的
单调减区间为(,)a a 。
（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值， 所以'
2
(1)3(1)
30, 1.
f a a -=⨯--=∴=
所以3
'2()31,()33,
f x x
x f x x =--=-
由'
()0f x =解得1
21,1
x
x =-=。
由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=，
在1x =处取得极小值(1)3f =-。
因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，又(3)193f -=-<-，(3)171f =>，
结合()f x 的单调性可知，m 的取值范围是(3,1)-。
3、设函数3
29
()62
f x x
x x a =-+-．
（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；
（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．
解：(1) '
2
()3963(1)(2)
f x x
x x x =-+=--,
因为(,)x ∈-∞+∞,'
()f x m ≥, 即 2
39(6)0
x x m -+-≥恒
成立, 所以 8112(6)0m ∆=--≤, 得34m ≤-，即m 的最大值为34
- (2) 因为 当1x <时, '
()0f x >;当12x <<时, '
()0f x <;当2x >时, '
()0f x >;
所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2
f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-; 故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52
a >.
4、方程0
76223
=+-x x
，在()2,1内根的个数。