对数运算和对数函数对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数。

③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>。

常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 对数函数及其性质类型一、对数公式的应用1计算下列对数=-3log 6log 22 =⋅31log 12log 2222=+2lg 5lg =61000lg=+64log 128log 22 =⨯)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384=++3log 23log 2242 =⋅16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333=++c b a 842log log log =+++200199lg 43lg 32lg=++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 22222 解对数的值：18lg 7lg 37lg214lg -+- 0 =-+-1)21(2lg 225lg-1 13341log 2log 8⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭的值0 提示：对数公式的运算如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么（1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a aMM N N-= （3）数乘：log log ()na a n M M n R =∈ （4）log aN a N = （5）log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈（6）换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且 （7）1log log =⋅a b b a （8）a b b a log 1log =类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是)1,31(-2设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 ()()4,11,4 --3函数()f x = ]1,0()0,1( - ）提示：（1）分式函数，分母不为0，如0,1≠=x xy 。

（2） 二次根式函数，被开方数大于等于0，0,≥=x x y 。

（3）对数函数，真数大于0，0,log >=x x y a 。

类型三、对数函数中的单调性问题1函数2()lg(43)f x x x =-+的单调递增区间为（ )1,(-∞ ） 2函数)152ln()(2--=x x x f 的单调递增区间是 ),5(+∞3函数)23(log 25.0+-=x x y 的递增区间是（ )1,(-∞ ）4已知()312log ,,981f x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为（ -2 ） 5若函数22log ()y x ax a =---在区间(,1-∞上是增函数，a的取值范围。

[2- 6不等式1)12(log 3≤-x 的解集为 ]2,21(7设函数()()()22log 4log 2f x x x =⋅，且x 满足241740x x -+≤，求()f x 的最大值。

12.提示：（1）在对数函数中x x f a log )(=中，当1>a ，)(x f 在其定义域上是增函数；当01>>a ，)(x f 在其定义域上是减函数。

（2）在复合函数)(log )(x g x f a =中，函数的单调性复合同增异减。

类型四、对数函数中的大小比较1已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。

01m n <<<2已知4log ,3log ,2log 543===c b a ，比较c b a ,,的大小关系 a b c >> 3设32log ,log log a b c π===，则c b a ,,的大小关系 a b c >>4若0>>b a ，10<<c ，则B （A ）c c b a log log <（B ）b b c c log log <（C ）c c b a <（D ）ba c c > 5若1>a ，且y a x aa y a xlog log -<---，则x 与y 之间的大小关系是（ ）0>>y x提示：在b y a log =比较大小题型中，当1>a ，⎩⎨⎧<>>>>00101y x y x ；当01>>a ，⎩⎨⎧>>><>00101y x y x 。

类型五、对数函数求值问题1已知函数x x f lg )(=，若1)(=ab f ，则=+)()(22b f a f 22解方程08log 9log log )(log 32222=⋅--x x 8=x 或41=x 3已知1>>b a ,若25log log =+a b b a ，ab b a =，则a ，b 。

2,4==b a 4已知函数2log log )(32+-=x b x a x f ，若4)20141(=f ，则)2014(f 的值为_____0___． 提示：在对数函数求值过程中，主要用到对数公式 类型六、对数函数中的分段函数问题1设函数()()1232 2log 1 2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，，，则()()2f f 的值为（ 2 ）2已知21()0()2log 0xx f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩，，，，≤则21(8)(log )4f f +=___7________.3已知函数()f x 满足：当4≥x ，则()f x ＝1()2x；当4<x 时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝124提示：分段函数中涉及到对数公式，需要注意函数的定义域问题 类型七、对数函数中含参数问题 1若1112log <-a a，则a 的取值范围是 ()4+∞， ． 2 若关于x 的方程4)lg()lg(2=⋅ax ax 的所有解都大于1，求a 的取值范围。

)1001,0( 3函数)00(log )(≠>=a a x x f a 且，当),2[+∞∈x 时，1|)(|≥x f ，则a 的取值范围是（ 21121≤<<≤a a 或 ）4设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a = 4 提示：对数函数中有参数以及求参数的取值范围，需要考虑对数函数的单调性，综合性很强。

类型八、对数函数中的图像问题1当1a >时，函数x x f a log )(=和x a x f )1()(-=的图象只可能是( )2函数x xxx f 2log )(=的大致图象是( )3图2-2-2中的曲线是对数函数x y a log =的图象，已知a 取101,53,34,3四个值。

则相应4321,,,c c c c 的a 值依次为（ 53,101,3,34 ）提示：函数的图像题型，先看奇偶性再看单调性，然后用特指排除。

类型九、对数函数中的奇偶性问题1若函数)2(log )(22a x x x f a++=是奇函数，则=a 22 。

2若函数)ln()(2x a x x x f ++=为偶函数，则=a 1 3若函数()()ax ex f x++=1ln 3是偶函数，则=a ____32-________.4 若函数m x x f a +=log )(是偶函数，且在]4,2[上最大值为2，则m a +的值 2 提示：偶函数必有)()(x f x f =-，然后求参数。

类型十、对数函数中的绝对值问题1 已知函数x x f ln )(=，若)()(b f a f =，求b a +的取值范围),2(+∞2已知函数)1lg()(+=x x f ，若b a ≠且)()(b f a f =，则b a +的取值范围是 0+∞（，） 3已知函数x x f lg )(=,若b a <<0,且)()(b f a f =,则b a 2+的取值范围是(3,)+∞提示：已知对数函数x x f a log )(=的图像，只需要把x 轴下方的图像翻到x 轴上方。

如果当)()(b f a f =，且b a <，必有1,10><<b a ，以及1=ab 。

类型十一、对数函数中的综合问题1若函数)1(log )(++=x a x f a x在]1,0[上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( 2 )2若42log (34)log a b +=a b +的最小值为（7+） 3设点P 在曲线xe y 21=上，点 Q 在曲线)2ln(x y =上，则PQ 的最小值为（)1ln 2- ） 4已知两个函数x x f a log )(=，xa x g =)(，(1)若)()()(x g x f x h +=，在]4,1[的最大值为18，求a 值；(2)对任意的]4,1[∈x 时，)()(x g x f ≤，求a 的取值范围。

【答案】（1）2=a ；（2）),2[)1,0(+∞∈ a 。

提示：对数函数中可以和不等式，单调性，导数等进行综合，解答中需要多个知识点相结合多种考虑。

习题类型一、关于对数公式的应用 1求下列各式中的x 的值：(1)313x =；(2)6414x =；(3)92x =； (4)1255x 2=；(5)171x 2=-；（6）)4(lg )100(log )9(log 32⋅⋅2化简下列各式：(1)51lg 5lg 32lg 4-+；(2)536lg 27lg 321240lg 9lg 211+--+；(3)3lg 70lg 73lg -+；(4)120lg 5lg 2lg 2-+(5)4log 3log 54)51()41(+ (6)2log 2log 4log 7101.0317103-+(7)6lg3log 2log 100492575-+ (8)31log 27log 12log 2594532+-(9))2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+； (10)6log ]18log 2log )3log 1[(46626⋅⋅+- （11）3log 9log 283设25a bm ==，且112a b+=，则m =4计算 31102log 8)833()32()23(364log 3--+-++-的值 2.5计算：())31log 230.02717lg 6lg 0.02--+-的值 2536计算：()(220231lg 2lg5lg 2020160.0273-⎛⎫+++⨯ ⎪⎝⎭的值 1027 计算：]1)2(log )41)[(log 5lg 2(lg 14121-++-＝ -1 8计算：3log 15log 15log 5log 52333--的值是(0 ) 9计算： 2log 3log 3log 2log )3log 2(log 3223223--+的值是( 2 ) 10已知z y x ,,为正数，且1243==yx，求使yx 11+的值。