第十章 无穷级数一、概念 1.定义无穷数列}{n u 中：∑∞==++++121......n nn uu u u无穷数列}{n u 的各项之和∑∞=1n nu叫无穷级数，简称级数。

n u 叫∑∞=1n nu的一般项（通项）；......21++++n u u u 为展开式。

【例】 ①∑∞=++++⨯+⨯=+1...)1(1...321211)1(1n n n n n ②...ln ...3ln 2ln 1ln ln 1+++++=∑∞=n n n③ (323)21++++=∑∞=nn nne e e e ne④......32321++++=∑∞=n x x x x nx nn n 2.级数的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∑∞=),1x u u u n n n n （其中函数项级数：（数项级数）是具体数字常数项级数：每一项都①两个特殊的数项级数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⋅-≥∑∑∞=∞=0,1011n n n n n n n u u u u ）（交错级数：中，正项级数：②一个特殊的函数项级数∑∞=1)(n nx u中，nn n x a x u ⋅=)(（常数乘以x 的幂级数），即∑∞=1n nn xa 称为幂级数。

3.级数∑∞=1n nu的收敛与发散前n 项和n n u u u S +++= (21)数列}{n S 叫∑∞=1n nu的部分和数列。

敛散性：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=→∑∑∑∑∞=→∞∞=∞=∞=→∞→∞发散不存在，则若分和数列的极限）要求级数的和，即求部的和，记为叫收敛，则存在（若1111lim ()lim lim n n n n n n n n n n n n n n u S Su u S u S S S 【例】①∑∞=+1)1(1n n n 111)111(...)3121()211()1(1...321211+-=+-++-+-=+++⨯+⨯=n n n n n S n 1lim =∞→n n S ，∑∞=+∴1)1(1n n n 收敛②∑∞=1ln n n!ln ln ...2ln 1ln n n S n =+++=+∞=∞→n n S lim ，∑∞=∴1ln n n 发散4.几何级数与-p 级数 （1）∑∞=-11n n aq几何级数，首项a ，公比qqq a aq aq a S n n n --=++=-1)1( (1)∞→n 时：⎪⎪⎪⎪⎨⎧∞→⎩⎨⎧=⋅-+-+-=-=∞→∞→===-不存在时时n n n n S n a a a a a S q S n na S q q 0)1(...,1,,11||1Ⅰ：1||<q ，0lim =∞→nn q ，qaS n n -=∞→1limⅡ：1||>q ，∞=∞→nn q lim ，∞=∞→n n S limⅢ：【例】①111)21(2121-∞=∞=⋅=∑∑n n n n 收敛nn n n S 211211)211(2121...21212-=--=+++= ∴1lim =∞→n n S②1111)35(3135-∞=∞=-⋅=∑∑n n n n n ，135>=q 发散（2）-p 级数⇒≤⇒>发散收敛11p p ∑∞=131n n收敛∑∑∞=∞==121111n n n n 发散调和级数 (31)21111+++=∑∞=n n发散二、级数的性质 1.∑∞=1n nu与∑∞=1n nku具有相同敛散性（0≠k ）【例】∑∞=14n n 发散，∑∞=-125n n收敛2.在∑∞=1n nu中增加、减少、改变有限项不改变敛散性。

3.若∑∞=1n nu与∑∞=1n nv均收敛，则∑∞=±1)(n n nv u仍收敛。

【例】 ∑∞=-++111523n nn n 解：111)52(51)53(3523--+⨯+⨯=+n n nn n Θ 原式收敛发散收敛⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅∑∑∞=∞=11)52(51)53(3n nn n 推论：若∑∞=1n nu收敛，∑∞=1n n v 发散，则∑∞=±1)(n n nv u必发散（可利用反证法进行证明）【例】∑∞=-⋅⋅+1122n n n n n n ：nn n n n n n 21)21(221+=⋅⋅+- ∑∞=1)21(n nΘ收敛，∑∞=121n n发散，∴原始发散4.若∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u 。

推导：∑∞=1n nu收敛，S S n n =∴∞→lim ，S S n n =-∞→1lim0)(lim lim 1=-=∴-∞→∞→n n n n n S S u①0lim =∞→n n u 是∑∞=1n nu收敛的必要不充分条件； ②0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n nu必发散。

【例】①21,12,121→∞→+=+∑∞=nn n u n n n u n n 时，∴原式发散 ②021221lim 221tan lim ,221tan100111≠==+∞→+∞→∞=+∑ππππn n n n n n n n n Θ ∴原式发散三、正项级数敛散性的判定方法 1.比较判断法：若∑∞=1n nu与∑∞=1n nv均为正项级数，且n n v u ≤：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=必收敛收敛，则若必发散发散，则若1111n n n n n n n n u v v u 【例题1】①∑∞=-1121n n 解：nn 21121>-Θ，又Θ∑∞=121n n 发散，∴原式发散②∑∞=+1511n n解：nn 51511<+Θ，又Θ∑∞=151n n收敛，∴原式收敛③∑∞=12sinn n π解：Θ当1>n 时，22sinn n ππ<又Θ∑∞=12n nπ收敛，∴原式收敛④∑∞=++1211n nn解：nn n n n n +=+++>++112111122Θ又Θ∑∞=+111n n 发散，∴原式发散2.比值判别法：设∑∞=1n nu为正项级数且ρ=+→∞nn n u u 1lim：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=><∑∑∑∞=∞=∞=失效）可能发散也可能收敛（则若必发散则若必收敛则若111:1:1:1n n n n n n u u u ρρρ 【例题2】①∑∞=13n nn解：n nn u 3=，1131+++=n n n u ， n n u u n n 1311+⋅=+ 131lim1<=+→∞nn n u u ，∴原式收敛②∑∞=+⋅1135n n n n解：135+⋅=n nn n u ，2113)1(5+++⋅+=n n n n u ， 1351+⋅=+n n u u n n 135lim1>=+→∞nn n u u ，∴原式发散③∑∞=+⋅112tann n n π解：12tan +⋅=n n n u π，212tan )1(++⋅+=n n n u π，1212tan 2tan 1+++⋅+=n n n n n n u u ππ，12122lim 352tan 2tanlim lim 1200121<===++→∞++→∞+→∞n n n n n n n n n u u ππππ，∴原式收敛④∑∞=⋅1!2n nn n n 解：n n n n n u !2⋅=，111)1()!1(2+++++⋅=n n n n n u ， nn n n u u -++=)11(21 12lim11<=-+∞→e u u n n n ，∴原式收敛四、交错级数收敛的充分条件 设)0()1(11≥⋅-∑∞=-n n n n u u 为交错级数，若①1+≥n n u u ； ②0lim =∞→n n u 则∑∞=-⋅-11)1(n n n u 必收敛。

【例】①111111,)1(+∞=-=+>=-∑n n n n u n n u n01lim lim ==∞→∞→nu n n n ，∴原式收敛 ②12,12)1(1+=+-⋅∑∞=n nu n n n nn 021lim ≠=∞→n n u （不满足条件） 012)1(lim ≠+-⋅∴∞→n n n n ，∴原式发散 五、任意项级数的条件收敛于绝对收敛 级数)(1R u u n n n ∈∑∞=：级数||1∑∞=n n u 叫∑∞=1n n u 的绝对值级数，若||1∑∞=n nu收敛，则∑∞=1n n u 必收敛；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=条件收敛发散，则称若绝对收敛收敛，则称若收敛11111||||n n n n n n n n n n u u u u u 【例题】判断下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？①∑∞=-11n nn ）（解：∑∑∞=∞==-111|1|n n n n n ）（发散原式中1111+=+>=n n u n n u ，0lim =∞→n n u∴原式条件收敛②∑∞=--⋅1131n n n n ）（解：∑∑∞=∞=-=-⋅1113|31|n n nn n nn ）（收敛∴原式绝对收敛③∑∞=--⋅-11)cos 1(1n n n α）（ 解：|)cos 1(1|11∑∞=--⋅-n n n α）（ ∑∞==-=122sin 2cos 12sin 22n n n nααα收敛（22224)2(2sinnnnααα=<）∴原式绝对收敛六、幂级数 （一）基本概念 1.∑∞=-11n n n xa2.∑∞=-11n n n xa 的收敛点与发散点①若0x x =时，∑∞=-11n n n xa 收敛，则称0x 是∑∞=-11n n n xa 的收敛点；此时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><∑∑∞=-∞=-可能收敛也能发散绝对收敛110110|,||||,|||n n nn n n x a x x x a x x 【例】已知∑∞=-1)4(n n n x a 在3=x 时收敛，则6=x 时，∑∞=-1)4(n nn x a 收敛还是发散？解：设t x =-4，∑∞=1n nn ta ，1,3-==t x1|1|||=-<t 时收敛，1||>t 时，2|||4|,6==-=t x x ，可能收敛可能发散②若0x x=时，∑∞=-11n n n xa 发散，则称0x 是∑∞=-11n n n xa 的发散点；此时||||0x x >，∑∞=-11n n nxa 必发散。

3.∑∞=-11n n n xa 的收敛半径与收敛区间存在一个非负数R ， 若R x <||时，∑∞=-11n n n xa 绝对收敛；若R x >||时，∑∞=-11n n n x a 发散；若R x =||时，∑∞=-11n n nxa 可能发散可能收敛；则称R 为∑∞=-11n n n x a 的收敛半径，),(R R -叫∑∞=-11n n n xa 的收敛区间。