2010年北京中考数学模拟分类 二次函数综合题1.（2010北京中考）24. 在平面直角坐标系xOy 中，拋物线y = -41-m x 2+45mx +m 2-3m +2 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条拋物线上。

(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。

延长PE 到点D 。

使得ED =PE 。

以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此拋物线上时，求OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止 运动，P 点也同时停止运动)。

过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。

延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。

若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。

2.( 2010朝阳一模24)已知直线y=kx-3与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C,动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍. （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，△PQA 是直角三角形；（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得△ACD 的面积最大，若存在，求出点D 坐标；若不存在，请说明理由．3.( 2010东城一模) 23. 已知抛物线C 1：22y x x =-的图象如图所示，把C 1的图象沿y 轴翻折，得到抛物线C 2的图象，抛物线C 1与抛物线C 2的图象合称图象C 3（1）求抛物线C 1的顶点A 坐标，并画出抛物线C 2的图象； （2）若直线y kx b =+与抛物线2(0)y ax bx c a =++≠点时,称直线与抛物线相切. 若直线y x b =+与抛物线C 1相切，求b 的值；（3）结合图象回答，当直线y x b =+与图象C 3 有两个交点时，b 值范围．4. （2010丰台一模）23．已知二次函数22-+-=m mx x y ．（1） 求证：无论m 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴都有两个交点； （2） 当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；（3） 将直线y =x 向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），一个动点P 自A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．5. （2010丰台一模）25．已知抛物线22--=x x y ．（1）求抛物线顶点M 的坐标；（2）若抛物线与x 轴的交点分别为点A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为t ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△P AC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6.（2010海淀一模） 24. 点P 为抛物线222y x mx m =-+(m 为常数，0m >)上任一点，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转90︒后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的上方)，点Q 为点P 旋转后的对应点.(1) 当2m =，点P 横坐标为4时，求Q 点的坐标； (2) 设点(,)Q a b ，用含m 、b 的代数式表示a ；(3) 如图，点Q 在第一象限内, 点D 在x 轴的正半轴上，点C 为OD 的中点，QO 平分AQC ∠，2AQ QC =，当QD m =时，求m 的值.7.（2010海淀一模）23.关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根，且c 为正整数.(1) 求c 的值；(2) 若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy 中,抛物线24y x x c =-+与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 左侧)，与y 轴交于点C . 点P 为对称轴上一点，且四边形OBPC 为直角梯形，求PC 的长； (3) 将(2)中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D 的坐标为(),m n ,当抛物线与(2)中的直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时，直接写出m 的取值范围.8. （2010石景山一模）25．已知：如图1，等边ABC ∆的边长为32，一边在x 轴上且()0,31-A ，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．（1）直接写出点C B 、的坐标；（2）若直线()01≠-=k kx y 将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值；（3）如图2，过点C B A 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点()0,2-G 作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两个结论：① CDM GNM ∠=∠ ②DCM MGN ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．图1 图29.（2010西城一模） 23．已知关于x 的方程032)1(32=-+--m x m mx ．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称． ①求这个二次函数的解析式；②已知一次函数222-=x y ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值y 1≥y 2均成立；（3）在（2）的条件下，若二次函数y 3＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点（－5，0），且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值y 1≥y 3≥y 2均成立．求二次函数y 3＝ax 2＋bx ＋c 的解析式.10.（2010宣武一模）24．已知：将函数y x =的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像．(1)求这个新的函数的解析式；(2)若平移前后的这两个函数图象分别与y 轴交于O 、A 两点，与直线x =C 、B 两点．试判断以A 、B 、C 、O 四点为顶点的四边形形状，并说明理由；(3)若⑵中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数21222++-=b bx x y 的图象的一部分，求满足条件的实数b 的取值范围．11. （2010崇文一模） 2５．已知抛物线21y ax bx =++经过点A （1，3）和点B （2，1）．（1）求此抛物线解析式；（2）点C 、D 分别是x 轴和y 轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值；（3）过点B 作x 轴的垂线，垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F 点,再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE ,试确定点F 的位置,使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．（要求：简述确定F 点位置的方法，但不要求证明）12（2010崇文一模）23．已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．13.（2010朝阳二模）25．（本小题8分）如图，边长为2的正方形ABCO 中，点F 为x 轴上一点，CF=1，过点B 作BF 的垂线，交y 轴于点E ． （1）求过点E 、B 、F 的抛物线的解析式；（2）将∠EBF 绕点B 顺时针旋转，角的一边交y 轴正半轴于点M ，另一边交x 轴于点N ，设BM 与（1）中抛物线的另一个交点为点G ，且点G 的横坐标为56，EM 与NO 有怎样的数量关系？请说明你的结论．（3）点P 在（1）中的抛物线上，且PE 与y 轴所成锐角的正切值为23，求点P 的坐标．14（2010朝阳二模）22．（本小题5分）已知抛物线222m mx x y +-=与直线x y 2=交点的横坐标均为整数，且2＜m ，求满足要求的m 的整数值．15.（2010东城二模）24．如图，二次函数过A （0，m ）、B （3-，0）、C （12，0），过A 点作x 轴的平行线交抛物线于一点D ，线段OC 上有一动点P ，连结DP ，作PE ⊥DP ，交y 轴于点E ． （1）求AD 的长；（2）若在线段OC 上存在不同的两点P 1、P 2，使相应的点1E 、2E 都与点A 重合，试求m 的取值范围．（3）设抛物线的顶点为点Q ，当6090BQC ︒≤∠≤︒时，求m 的变化范围．16.（2010海淀二模）23. 已知：抛物线2(2)2y x a x a =+--(a 为常数. 且0a >). (1) 求证：抛物线与x 轴有两个交点；(2)x 轴的两个交点分别为A 、B (A 在B 左侧). 与y 轴的交点为C .① 当AC =. 求抛物线的解析式； ② 将①中的抛物线沿x 轴正方向平移t 个单位(t >0). 同时将直线l :3y x =沿y 轴正方向平移t 个单位.平移后的直线为'l . 移动后A 、B 的对应点分别为'A 、'B .当t 为何值时. 在直线'l 上存在点P . 使得△''A B P 为以''B A 为直角边的等腰直角三角形?17（2010海淀二模）25.如图. 在平面直角坐标系xOy 中. 点B 点D 在x 轴的正半轴上. 30ODB ∠=︒. OE 为△BOD 的中线. 过B 、E 两点的抛物线2y axc=+与x 轴相交于A 、F两点(A 在F 的左侧). (1) 求抛物线的解析式；(2) 等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上. 求AE 及AM 的长； (3) 点P 为△ABO 内的一个动点. 设m PA PB PO =++.请直接写出m 的最小值, 以及m 取得最小值时, 线段AP 的长. (备用图)18（2010石景山二模）23. 已知关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x . (1) 求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根.(2) 若直线()31+-=x m y 与函数m x y +=2的图象1C 的一个交点的横坐标为2,求关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x 的解.(3) 在(2)的条件下，将抛物线()312-+--=m x m x y 绕原点旋转︒180，得到图象2C ，点P 为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别与图象1C 、2C 交于N M 、两点，当线段MN 的长度最小时，求点P 的坐标.19.（2010石景山二模）25. 已知：如图，抛物线2552++-=b ax ax y 与直线b x y +=21交于点)0,3(-A 、点B ，与y 轴交于点C .(1) 求抛物线与直线的解析式；(2) 在直线AB 上方的抛物线上有一点D ，使得△DAB 的面积是8，求点D 的坐标； (3) 若点P 是直线1=x 上一点，是否存在△PAB 是等腰三角形.若存在， 求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.20（2010西城二模）23．已知：关于x 的一元二次方程04)4(2=-++-m x m x ，其中40<<m ．（1）求此方程的两个实数根（用含m 的代数式表示）；（2）设抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），若点D 的坐标为（0，-2），且AD ·BD =10，求抛物线的解析式；（3）已知点E （a ，1y ）、F （2a ，y 2）、G （3a ，y 3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．21. （2010西城二模）25． 在平面直角坐标系中，将直线l ：2343--=x y 沿x 轴翻折，得到一条新直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将抛物线1C ：232x y 沿x 轴平移，得到一条新抛物线2C 与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E 、点F ． （1）求直线AB 的解析式；（2）若线段DF ∥x 轴，求抛物线2C 的解析式；（3）在（2）的条件下，若点F 在y 轴右侧，过F 作FH ⊥x 轴于点G ，与直线l 交于点H ，一条直线m （m 不过△AFH 的顶点）与AF 交于点M ，与FH 交于点N ，如果直线m 既平分△AFH 的面积，求直线m 的解析式．22. （2010宣武二模）25. 对于任意两个二次函数: y 1=a 1x+b 1x+c 1; y 2=a 2x+b 2x+c 2, 其中a 1∙a 2≠0. 当Ⅰa 1Ⅰ=Ⅰa 2Ⅰ时, 我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线. 现有△ABM, A(-1,0) B(1,0). 我们记过三点的二次函数的图象为“C□□□”(“□□□”中填写相应三个点的字母). 如过点A 、B 、M 三点的二次函数的图像为CABM.(1) 如果已知M(0,1), △ABM≌△ABN. 请通过计算判断CABM 与CABN 是否为全等抛物线;(2) ① 若已知M(0, n), 在图中的平面直角坐标系中, 以A 、B 、M 三点为顶点, 画出平行四边形. 求抛物线CABM 的解析式, 然后请直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM 全等的抛物线解析式. ② 若已知M(m,n), 当m,n 满足什么条件时, 存在抛物线CABM? 根据以上的探究结果, 在图中的平面直角坐标系中, 以A 、B 、M 三点为顶点, 画出平行四边形. 然后请列出所有满足过平行四边形中三个顶点且能与CABM 全等的抛物线C□□□”.23.（2010丰台二模）23．（本小题满分7分）已知：关于x 的一元二次方程0)1(222=++-m x m x 有两个整数根，m <5且m 为整数． （1）求m 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数22)1(2m x m x y ++-=的图象沿x 轴向左平移4个单位长度，求平移后的二次函数图象的解析式； （3）当直线y =x +b 与（2）中的两条抛物线有且只有三个．．交点时，求b 的值．24（2010丰台二模）25．（本小题满分8分）已知：如图，四边形OABC 是矩形，4OA =，8OC =，将矩形OABC 沿直线AC 折叠，使点B 落在点D 处，AD 交OC 于点E ． （1）求OE 的长；（2）求过O D C ，，三点的抛物线的解析式；（3）若F 为过O D C ，，三点的抛物线的顶点，一动点P 从点A 出发，沿射线AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t （秒）为何值时，直线PF 把FAC △分成面积之比为1:3的两部分？25（2010崇文二模）24．如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 、B 的坐标分别为A(0,3)和B(5,0)，连结AB ．（1）现将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°，得到△COD ，（点A 落到点C 处），请画出△COD ，并求经过B, C, D 三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B 的对应点为点E ，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F ．P 为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连结PE , PF ，当PE-PF 的绝对值取得最大值时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P 使△EPF 为直角三角形？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．26（2010崇文二模）23．已知一元二次方程2 10x px q +++=的一根为 2．（1）求q 关于p 的函数关系式；（2）求证：抛物线2 y x px q =++与x 轴有两个交点；（3）设抛物线2 1y x px q =+++与x 轴交于A 、B 两点（A 、B 不重合），且以AB 为直径的圆正好经过该抛物线的顶点．求,p q 的值．2009年北京中考数学模拟分类——二次函数综合题27.（2009朝阳一模）24. 抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3），抛物线顶点为M ，连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴于点Q ，且点Q 到x 轴的距离为6. （1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，求出点D 的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得S △PAM =3S △ACM ，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.28.（2009东城一模）24．(本题满分7分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A (0，2)，点C (－1，0)，如图所示，抛物线y ＝ax 2＋ax －2经过点B ．(1)求点B 的坐标； (2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点P (点B 除外)，使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形?若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．29（2009丰台一模）25．已知抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于不同的两点()10A x ，和()20B x ，，与y 轴交于点C ，且12x x ，是方程2230x x --=的两个根（12x x <）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 作AD ∥CB 交抛物线于点D ，求四边形ACBD 的面积； （3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作平行于x 轴的直线l 交BC 于点Q ，那么在x 轴上是否存在点R ，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．30.（2009海淀一模）25．已知抛物线经过点A (0，4)、B (1，4)、C (3，2)，与x 轴正半轴交于点D ．(1)求此抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)在x 轴上求一点E ，使得△BCE 是以BC 为底边的等腰三角形；(3)在(2)的条件下，过线段ED 上动点P 作直线PF ∥BC ，与BE 、CE 分别交于点F 、G ，将△EFG 沿FG 翻折得到△E ′FG ．设P (x ，0)，△E ′FG 与四边形FGCB 重叠部分的面积为S ，求S 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围．31.（2009西城一模）24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线643+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出｜QA－QO｜的取值范围．32.（2009宣武一模）25．如图，矩形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，点B的坐标是(3，1)，点D是AB边上一个动点(与点A不重合)，沿OD将△OAD翻折后，点A落在点P处．(1)若点P在一次函数y＝2x－1的图象上，求点P的坐标；(2)若点P在抛物线y＝ax2图象上，并满足△PCB是等腰三角形，求该抛物线解析式；(3)当线段OD与PC所在直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM＋BM最小，并求出这个最小值．33.（2009崇文一模）24．(本小题满分7分)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．(Ⅰ)求抛物线的解析式；(Ⅱ)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P ，A ，C 为顶点的三角形为直角三角形?若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由； (Ⅲ)直线131+-=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若∠DBC ＝α ，∠CBE ＝β ，求α －β 的值．34（2009石景山一模）21．已知：如图，直角三角形AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负半轴上，C 为线段OA 上一点，OC ＝OB ，抛物线y ＝x 2－(m ＋1)x ＋m (m 是常数，且m ＞1)经过A 、C 两点．(1)求出A 、B 两点的坐标(可用含m 的代数式表示)： (2)若△AOB 的面积为2，求m 的值．35.（2009朝阳二模）23．（本小题7分）如图，点A 在x 轴的负半轴上，OA=4，将△ABO绕坐标原点O 顺时针旋转90°，得到△O B A 11，再继续旋转90°，得到△O B A 22.抛物线y= ax 2+bx+3经过B 、1B 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点2B 是否在此抛物线上，请说明理由；（3）在该抛物线上找一点P ，使得△2PBB 是以2BB 为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点P 的坐标； （4）在该抛物线上，是否存在两点M 、N ，使得原点O 是线段MN 的中点，若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由.36.（2009崇文二模）25．（本小题满分８分）在平面直角坐标系中，抛物线c x ax y ++=2经过直线42+=x y 与坐标轴的两个交点B C 、，它与x 轴的另一个交点为A ．点N 是抛物线对称轴与x 轴的交点，点M 为线段AB 上的动点． （1）求抛物线的解析式及点A 的坐标；（2）如图①，若过动点M 的直线BC ME //交抛物线对称轴于点E ．试问抛物线上是否存在点F ，使得以点F E N M ,,,为顶点组成的四边形是平行四边形，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图②，若过动点M 的直线AC MD //交直线BC 于D ，连接CM ．当CDM ∆的面积最大时，求点M 的坐标？图1 图237.（2009东城二模）24. 定义{},,a b c 为函数2y ax bx c =++的 “特征数”．如：函数223y x x =-+的“特征数”是{}1,2,3-，函数23y x =+的“特征数”是{}0,2,3,函数y x =-的“特征数”是{}0,1,0-（1）将“特征数”是⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧1,33,0的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式；（2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y 轴交于A 、B 两点，与直线3=x 分别交于D 、C 两点，判断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状,请说明理由并计算其周长．（3）若（2）中的四边形与“特征数”是211,2,2b b ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭的函数图象的有交点，求满足条件的实数 b 的取值范围？38（2009海淀二模）23、已知：关于x 的一元二次方程x 2＋（n －2m ）x ＋m 2－mn=0①(1)、求证：方程①有两个实数根： （2）、若m －n －1=0,求证方程①有一个实数根为1； （3）、在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a 。