二次函数中考试题分类汇编一、选择题1、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）BA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）．B （A ）②④（B ）①④（C ）②③（D ）①③3、二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）BA ．0B ．1C ．2D ．3 4、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）A5、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )D A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小C. 存在一个负数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x > x 0时，函数值y 随x 的增大而增大D. 存在一个正数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，函数值y 随x 的增大而增大6、已知二次函数y =x 2-x+a (a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ ）BO xy O x y O x yOxy(A) m -1的函数值小于0? ?? ?? ? (B) m -1的函数值大于0? ?? ?? (C) m -1的函数值等于0? ?? ? (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定 二、填空题1、二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图8所示，且P =| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |，Q =| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |， 则P 、Q 的大小关系为 .2、如图9所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．－1 3、已知二次函数22y x x m =++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ． 11x =-，23x =；4、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()P a bc ，在第 象限． 三三、解答题1、知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A 、B （1，0），且经过点C （2，8）。

（1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标。

解：（1）设这个抛物线的解析式为c bx ax y ++=2由已知，抛物线过)0,2(-A ，B （1，0），C （2，8）三点，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-8240024c b a c b a c b a （3分）解这个方程组，得4,2,2-===c b a 图8xyO第4题Oyx图9（第3题）∴ 所求抛物线的解析式为4222-+=x x y （6分） （2）29)21(2)2(2422222-+=-+=-+=x x x x x y ∴ 该抛物线的顶点坐标为)29,21(--2、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，． （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标． 解：（1）设二次函数解析式为2(1)4y a x =--，Q 二次函数图象过点(30)B ，，044a ∴=-，得1a =． ∴二次函数解析式为2(1)4y x =--，即223y x x =--．（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-．∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，3、已知二次函数图象的顶点是(12)-，，且过点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （1）求二次函数的表达式，并在图10中画出它的图象；（2）求证：对任意实数m ，点2()M m m -，都不在这个 二次函数的图象上．解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为2(1)2y a x =++， ··· 2分又点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，在它的图象上，可得322a =+，解得12a =-． 所求为21(1)22y x =-++． 令0y =，得1x =图画出其图象如右．（2）证明：若点M 在此二次函数的图象上， 则221(1)22m m -=-++． 得2230m m -+=． 方程的判别式：41280-=-<，该方程无解． 所以原结论成立．4、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图9（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2分） （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（2分）（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（2（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 解：（1）11x =，23x = （2）13x << （3）2x > （4）2k <5、如图13，已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A和点B ．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离．解：（1）将x =-1，y =-1；x =3，y =-9分别代入c x ax y +-=42得图13图9⎩⎨⎧+⨯-⨯=-+-⨯--⨯=-.3439,)1(4)1(122c a c a 解得 ⎩⎨⎧-==.6,1c a ∴二次函数的表达式为642--=x x y ． （2）对称轴为2=x ；顶点坐标为（2，-10）．（3）将（m ，m ）代入642--=x x y ，得 642--=m m m ，解得121,6m m =-=．∵m ＞0，∴11-=m 不合题意，舍去．∴?m =6．∵点P 与点Q 关于对称轴2=x 对称，∴点Q 到x 轴的距离为6． 6、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，．（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），围．解：（1）Q 二次函数图象顶点的横坐标为1∴由1242393212.ba abc a b ⎧-=⎪⎪++=⎨⎪-+=-⎪⎩，， 解得123.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，，∴此二次函数的表达式为 223y x x =-++．（2）假设存在直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似．在223y x x =-++中，令0y =，则由2230x x -++=，解得1213x x =-=，(10)(30)A B ∴-，，，．令0x =，得3y =．(03)C ∴，．设过点O 的直线l 交BC 于点D ，过点D 作DE x ⊥Q 点B 的坐标为(30)，，点C 的坐标为(03)，，点A 4345.AB OB OC OBC ∴===∠=o，，BC ∴==要使BOD BAC △∽△或BDO BAC △∽△， 已有B B ∠=∠，则只需BD BOBC BA=， ①或.BO BDBC BA= ② 成立．若是①，则有344BO BC BD BA⨯===g ．而45OBC BE DE ∠=∴=o ，．∴在Rt BDE △中，由勾股定理，得2222224BE DE BE BD ⎛⎫+=== ⎪ ⎪⎝⎭．解得 94BE DE ==（负值舍去）．93344OE OB BE ∴=-=-=． ∴点D 的坐标为3944⎛⎫⎪⎝⎭，．将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得3k =．∴满足条件的直线l 的函数表达式为3y x =．［或求出直线AC 的函数表达式为33y x =+，则与直线AC 平行的直线l 的函数表达式为3y x =．此时易知BOD BAC △∽△，再求出直线BC 的函数表达式为3y x =-+．联立33y x y x ==-+，求得点D 的坐标为3944⎛⎫⎪⎝⎭，．］若是②，则有BO BA BD BC ===g 45OBC BE DE ∠=∴=o ，． ∴在Rt BDE △中，由勾股定理，得222222BE DE BE BD +===．解得2BE DE ==（负值舍去）．321OE OB BE ∴=-=-=．∴点D 的坐标为(12)，．将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得2k =．∴满足条件的直线l 的函数表达式为2y x =．∴存在直线:3l y x =或2y x =与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似，且点D 的坐标分别为3944⎛⎫⎪⎝⎭，或(12)，． （3）设过点(03)(10)C E ，，，的直线3(0)y kx k =+≠与该二次函数的图象交于点P ． 将点(10)E ，的坐标代入3y kx =+中，求得3k =-．∴此直线的函数表达式为33y x =-+．设点P 的坐标为(33)x x -+，，并代入223y x x =-++，得2x 解得1250x x ==，（不合题意，舍去）．512x y ∴==-，．∴点P 的坐标为(512)-，．此时，锐角PCO ACO ∠=∠．又Q 二次函数的对称轴为1x =，∴点C 关于对称轴对称的点C '的坐标为(23)，．∴当5p x >时，锐角PCO ACO ∠<∠；当5p x =时，锐角∠当25p x <<时，锐角PCO ACO ∠>∠．7、如图，矩形A ’BC ’O ’是矩形OABC(边OA 在x 轴正半轴上，边OC 在y 轴正半轴上)绕B 点逆时针旋转得到的．O ’点在x 轴的正半轴上，B 点的坐标为(1，3)． (1)如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象经过O 、O ’两点且图象顶点M 的纵坐标为—1．求这个二次函数的解析式；(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P ，使得ΔPOM 为直角三角形?若存在，请求出P 点的坐标和ΔPOM 的面积；若不存在，请说明理由； (3)求边C ’O ’所在直线的解析式．8、容积率t 是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即t =用地面积建筑面积S M ，为充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率t 不小于1且不大于8.一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M （m 2）与容积率t 的关系可近似地用如图（1）中的线段l 来表示；1 m 2建筑面积上的资金投入Q （万元）与容积率t 的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段c 来表示．（Ⅰ）试求图（1）中线段l 的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积； （Ⅱ）求出图（2）中抛物线段c 的函数关系式. 解：（Ⅰ）设线段l 函数关系式为M =kt +b ，由图象得 ⎩⎨⎧=+=+.800006,280002b k b k 解之，得⎩⎨⎧==.2000,13000b k∴线段l 的函数关系式为M ＝13000t +2000, 1≤t ≤8. 由t =用地面积建筑面积S M 知，当t =1时，S 用地面积=M 建筑面积，把t =1代入M ＝13000t +2000中，得M =15000 m 2. 即开发该小区的用地面积是15000 m 2.（Ⅱ）根据图象特征可设抛物线段c 的函数关系式为Q ＝a ( t －4)2+k , 把点（4,0.09）, （1,0.18）代入，得 ⎩⎨⎧=+-=.18.0)41(,09.02k a k 解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.1009,1001k a ∴抛物线段c 的函数关系式为 Q ＝1001( t －4)2+1009,即Q ＝1001t 2-252t +41, 1≤t ≤8.9、如图10，已知抛物线P ：y =ax 2+bx +c (a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x … -3 -2 1 2 … y…-52-4-52…(1) 求A 、B 、C 三点的坐标；(2) 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM =k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围.若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：(2) 若点D 的坐标为(1，0)，求矩形DEFG 的面积. 解：⑴ 解法一：设2(0)y ax bx c a =++?，任取x ,y 的三组值代入，求出解析式2142y x x =+-， ··· 1分令y =0，求出124,2x x =-=；令x =0，得y =-4，∴ A 、B 、C 三点的坐标分别是A (2，0)，B (-4，0)，C (0，-4) . 3分 解法二：由抛物线P 过点(1，-52)，(-3，52-)可知，抛物线P 的对称轴方程为x =-1， ··········· 1分 又∵ 抛物线P 过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知， 点A 、B 、C 的坐标分别为 A (2，0)，B (-4，0)，C (0，-4) . 3分 ⑵ 由题意，AD DG AOOC=，而AO =2，OC =4，AD =2-m ，故DG =4-2m ， 4分又 BE EF BOOC=，EF =DG ，得BE =4-2m ，∴ DE =3m ， ····· 5分∴S DEFG =DG ·DE =(4-2m ) 3m =12m -6m 2 (0＜m ＜2) . ····· 6分 注：也可通过解Rt△B 形的面积最大，且最大面积是6 .当矩形面积最大时，其顶点为D (1，0)，G (1，-2)，F (-2，-2)，E (-2，0)， 7分设直线DF 的解析式为y =kx +b ，易知，k =23，b =-23，∴2233y x =-，又可求得抛物线P 的解析式为：2142y x x =+-， ····· 8分令2233x -=2142x x +-，可求出x =161-?. 设射线DF 与抛物线P 相交于点N ，则N 的横坐标为161--，过N 作x 轴的垂线交x 轴于H ，有图FN HEDF DE==233--， ··········· 9分点M 不在抛物线P 上，即点M 不与N 重合时，此时k 的取值范围是k≠k ＞0. ················ 10分说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分. 若选择另一问题：⑵ ∵AD DG AO OC=，而AD =1，AO =2，OC =4，则DG =2， ···· 4分又∵FG CP AB OC=， 而AB =6，CP =2，OC =4，则FG =3，∴S DEFG =DG ·FG =6.10、（2007山东威海）如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式．（3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABK ABC S S =△△，求点K 的坐标． （4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．2x =2+或y =2．（2， Q 点(12)A ，，(31)B ，在抛物线2l 上，图图图②12931b c b c ++=⎧∴⎨++=⎩，解得9211.2b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线2l 的函数表达式为291122y x x =-+． （3）229119722416y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，C ∴点的坐标为97416⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 过A B C ，，三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为D E F ，，，则2AD =，716CF =，1BE =，2DE =，54DF =，34FE =． ABC ADEB ADFC CFEB S S S S ∴=--△梯形梯形梯形．117517315(21)22122164216416⎛⎫⎛⎫=+⨯-+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 延长BA 交y 轴于点G ，设直线AB 的函数表达式为y mx n =+，Q 点(12)A ，，(31)B ，在直线AB 上，213.m n m n =+⎧∴⎨=+⎩，解得125.2m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AB 的函数表达式为1522y x =-+．G ∴点的坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设K 点坐标为(0)h ，，分两种情况：若K 点位于G 点的上方，则52KG h =-．连结AK BK ，．151553122222ABK BKG AKG S S S h h h ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯--⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△． 1516ABK ABC S S ==Q △△，515216h ∴-=，解得5516h =．K ∴点的坐标为55016⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 若K 点位于G 点的下方，则52KG h =-．同理可得，25h =． K ∴点的坐标为25016⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 图③（4）作图痕迹如图③所示．由图③可知，点P共有3个可能的位置．11、如图，抛物线223y x x=--与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。