完全平方公式--教学设计(代数)（郭建华）本溪市实验中学郭建华一、内容与内容解析1．内容完全平方公式2．内容解析本节内容要紧研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用．它是在学习了代数式的概念、整式的加减法、积的乘方、幂的运算和整式的乘法后学习的，也是在因式分解、分式的加减乘除混合运算中有广泛的应用．一些具有专门形式的多项式相乘，能够写成公式的形式．当遇到专门形式的多项式相乘时，能够直截了当运用公式写出结果，具有简化运算的功能．完全平方公式的推导，从代数的角度来推导，是以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，通过运算、观看、归纳，抽象概括出的专门形式的等式；让学生构造几何图形，用不同方式表示图形的面积，进行代数恒等变形来推导完全平方公式的结果，则表达了数形结合的思想方法和让学生动手操作进行数学活动探究模式．完全平方公式是多项式的乘法公式的一种，即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或者减去)它们乘积的2倍．而公式的符号表示及语言表述则揭示了公式的结构特点，公式(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2中的字母a，b能够是具体的数、单项式、多项式、分式等等，表达了从一样到专门的思想方法；通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算，还能够培养学生的求简意识．基于以上分析，确定本节课的教学重点：完全平方公式的发觉和推导过程，明白得公式的本质，并会运用公式进行简单的运算．三、教学目标和目标解析1．教学目标(1)．知识与技能：明白得公式及公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简单的运算．(2)．过程与方法：通过让学生经历完全平方公式的探究过程，使学生体会数、形结合的优势，把握完全平方公式的特点，培养学生的发觉能力、求简意识、应用意识、解决问题的能力和创新能力2．目标解析达成目标(1)的标志是：学生明白由多项式乘法到完全平方公式是一样到专门的过程，能依照多项式的乘法法则推导出完全平方公式；学生明白得能够构造几何图形利用面积的不同表示方式来完成公式的推导，了解验证完全平方公式的具体方法.明白得公式中的字母能够表示具体的数、单项式、多项式等，能够正确地运用公式进行简单运算．达成目标(2)的标志是：学生在探究完全平方公式的过程中，能够更好地发觉公式、体会和明白得公式及公式的差不多结构与特点，会用符号表示公式，能用文字语言表述公式内容；在利用几何图形的面积验证公式的过程中，感知数形结合的思想．一些专门形式的多项式乘法，能够利用完全平方公式进行运算，能够体会利用公式运算带来的便利性；一些数字平方的运算，让学生体会应用公式解决问题的方法；而对公式进行拓展探究，利用图形解决问题，则表达了学生的创新意识.四、教学问题诊断分析由于学生受2(a＋b)=2a＋2b，(ab)2=a2b2的阻碍，专门容易产生(a ＋b)2=a2＋b2，(a－b)2=a2－b2的错误结论并无意识的经历那个结论；由于公式(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2中的字母a，b本身能够是具体的数、整式、分式等，情形比较复杂，专门是字母a，b是带有数字系数的单项式时，容易不记得将数字系数平方，或者做运算时中间项漏乘公式的2倍，因此关于学生来说，运用公式有时会有困难．而作为完全平方公式的应用，教材中引入数字平方运算题，将数字分解成两个数和(或差)的平方，而且这两个数的平方与这两个数乘积2倍必须容易运确实是解题的关键．因此，把握完全平方公式的结构特点，是运用公式、解决具体问题的关键．因此本节课的教学难点是：完全平方公式的变式运用．五、教学支持条件分析为了几何图形面积验证公式，能够用几何画板软件演示拼图：大正方形面积=(a＋b)2大正方形面积=a2＋ab＋ab＋b2=a2＋2ab＋b2因此：(a＋b)2=a2＋2ab＋b2(图1)大正方形面积=a2大正方形面积=(a－b)2＋b(a－b)＋b(a－b)＋b2=(a－b)2＋2ab－b2因此：a2=(a－b)2＋2ab－b2因此：(a－b)2=a2－2ab＋b2大正方形面积=(a＋b＋c)2大正方形面积=a2＋2ab＋2ac＋2bc＋b2＋c2因此：(a＋b＋c)2=a2＋2ab＋2ac＋2bc＋b 2＋c2(图3)立方体=(a＋b)3立方体=a3＋3a2b＋3ab2＋b3因此：(a＋b)3=a3＋3a2b＋3ab2＋b3(图4)六、教学过程设计：(一)复习公式，设疑引课问题1：(mn)2=?问题2：(a＋b)2=a2＋b2成立吗?师生活动：教师提出问题，创设问题情境，让学生通过自主探究，合作交流，找到解决问题的途径.ab设计意图：把思维的空间留给学生，学生受(ab)2=a2b2的阻碍，专门容易产生(a＋b)2=a2＋b2的错误结论，心理学上称“负迁移”.问题情境的创设，使学生认知产生冲突，激发求知欲.学生在解决那个问题时，有的用具体数代入进行试验；有的从形的方面进行说明等等.如此做的目的一方面培养了学生分析问题、解决问题的能力；另一方面暴露了学生的思维过程，为后面教学的展开制造了条件。

(二)小组合作，验证结论1.你能得出(a＋b)2=？正确的结论吗？利用多项式乘以多项式验证结论.(a＋b)2=a(a＋b)＋b(a＋b)=a2＋ab＋ab＋b2=a2＋2ab＋b2师生活动：学生观看和摸索，会发觉能够运用多项式乘法法则及合并同类项能够推导出公式．设计意图：通过探究活动，让学生成为学习的主体，使学生能够积极热情地参与课堂教学活动.同时让学生感受完全平方公式是多项式乘法的专门形式.2.你还能用别的方法得出(a＋b)2=a2＋2ab＋b2吗？(几何图形拼图验证)(1)你能将下面四个纸板拼成一个正方形吗？师生活动：教师提出问题，学生先独立摸索，然后学生代表展现拼图过程．若学生感到困难和有疑问，教师能够指导学生完成．设计意图：通过探究活动，让学生积极热情地参与课堂教学活动，动手操作拼图，感受拼图成功的欢乐.(2)．拼成的正方形中隐含着一个简洁的等式，你能发觉它吗？或者师生活动：教师提出问题，学生先独立摸索，然后同座(或者小组)交流，学生代表展现结果．通过探究活动，让学生了解公式的几何意义，让学生在此过程中体会数形结合的数学思想．设计意图：通过两个活动，让学生经历动手操作(拼图)、观看和比较()、验证(多项式乘法法则及合并同类项)、概括(得．？（要求：同座间运算方法不一样．）同座间比较，要求运算方法不一样．同座间进行讨论，用不同方法解决问题．设计意图：让学生用多项式乘法法则及合并同类项得出结论；让学生提高改变完全平方和公式的符号，进行运算．通过比较，让学生体会通过公式运算带来的便利性，以此培养学生的求简意识．2．你能设计一个图形说明公式(a－b)2=a2－2ab＋b2吗？师生活动：学生先独立设计图形，然后同座(或者小组)探讨，完成图形设计．设计意图：通过探究活动，让学生认识完全平方差公式的几何意义，使学生能够更加深刻地明白得公式，再一次让学生在探究过程中体会数形结合的思想．(四)．总结公式，巧妙经历(a＋b)2=a2＋2ab＋b2 (a－b)2=a2－2ab＋b2两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或者减去)它们的积的2倍．速记口诀：首平方，尾平方，乘积2倍放中央，符号确定看前方！师生活动：师生共同分析两个公式的特点；并用语言表述公式的内容．设计意图：让学生观看两个公式的异同点，总结经历公式的方法；让学生将符号语言转化为文字语言，进展学生的数学语言的表达能力；学生在用语言表述公式内容时，能够加深对公式结构特点的明白得．(五)．例题学习，运用巩固．例1．运用完全平方公式运算：(4m ＋n)2师生活动：师生共同分析解答，教师板书例1，学生板书练习．在解答例1的过程中，教师指导学生要明确本题中的哪一个式子相当于公式中的a ，b ，然后依照公式，写出完全平方和公式中对应的每一项，在化简得出结果；在解答练习1的过程中，同样注意上述问题．解: (4m ＋n)2=(4m)2＋2•(4m) •n ＋n2=16m2＋8mn ＋n2( a ＋b)2= a2 ＋2 • a • b ＋ b2练习1：（ 学生板演） (1) (4a －b)2 (2) 2)21(-y 老师假如做错了第一题，猜一猜老师可能错哪了．设计意图：让学生熟悉公式的结构特点，找准哪个数或哪个式子相当于公式中的a ，b ，并运用公式进行运算．同时让学生总结运用公式的体会，以及运用公式解决问题应注意的事项．练习2：指出下列各式中的错误，并加以改正：(1) (2a −1)2＝2a2−2a ＋1;(2) (2a ＋1)2＝4a2＋1；(3) (-a −1)2＝-a2−2a −1．师生活动：学生独立摸索，并说明答案，对错误的问题相互交流、订正答案．设计意图：通过正误辨析及纠错、改错，让学生进一步明白得完全平方公式的结构特点，并能正确运用公式进行运算．(六)．学生编题，创新培养师生活动：学生自编题目，要求其他同学解答并能给出正确答案！但教师要引导学生能够自编出数字平方进行简捷运算题目．设计意图：让学生活动成为课堂的主体，教师起到引导作用．关于学生自编题目，给予充分的确信，让学生有成就感；但又要引导他们自编题目多样性，例如数字的平方运算，让学生体会运用公式运算的简捷性，同时使学生将完全平方公式的知识迁移到新的问题情形中，既巩固新知，有培养学生的创新能力，分析能力和解决问题的能力．(七)知识拓展，思维提升猜想：(1).(a＋b＋c)2= ？(2) .(a＋b)3= ？你能设计一个几何图形说明它们吗？师生活动：教师提出问题，学生先独立摸索，然后同座(或者小组)探讨给出代数运算结果和设计几何图形．学生有困难，教师指导．设计意图：让学生体会利用公式的求简意识和数形结合的思想方法．体会线段、面积、体积分别对应的代数式的意义．升华主题，培养学生的制造意识，并加深学生对完全平方公式的明白得与运用．(八)归纳小结教师与学生一起回忆本节课所学的要紧内容，归纳：(1)本节课学习那些内容？(2)完全平方公式的结构特点？(3)运用完全平方公式的要紧事项？设计意图：通过总结归纳，能够让学生归纳本节课的内容，进一步经历完全平方公式和认识公式的特点，为运用公式积存体会．(九)布置作业教材习题14．2第2、4、6、7题．六、目标检测设计1．下列变形中，错误的是( )(1)(b－4c)2=b2－16c2；(2)(a－2bc)2=a2＋2abc＋4b2c2；(3)(x＋y)2=x2＋xy＋y2；(4)(4m－n)2=16m2－8mn＋n2．A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4) C．(1)(3)(4) D．(2) (3)(4)设计意图：考查学生对完全平方公式结构特点的明白得．2．运用完全平方公式运算(1)(a－3b)2；(2)(－m－n)2；(3)(2x＋3)(－2x －3)．设计意图：考查学生对完全平方公式的明白得与运用．3．运用完全平方公式运算：(1)1022；(2)992．设计意图：考查学生对完全平方公式的应用，及数字平方的简捷运算的把握．。