一维稳态导热的数值计算
1.1物理问题
一个等截面直肋，处于温度t∞=80
的流体中。

肋表面与流体之间的对流换热系数为
h=45W/(m2∙℃),肋基处温度tw=300℃，肋端绝热。

肋片由铝合金制成，其导热系数为λ=110W/(m ∙℃)，肋片厚度为δ=0.01m，高度为H=0.1m 。

试计算肋内的温度分布及肋的总换热量。

1.2数学描述及其解析解
引入无量纲过余温度
θ=t -t∞tw -t∞，则无量纲温度
描述的肋片导热微分方程
及其边界条件：22
20d m dx
θθ-=
x=0,θ=θw =1 x=H,
0x
θ∂=∂ 其中 A
hp
m =
λ上述数学模型的解析解为：[()]
()()
w ch m x H t t t t ch mH ∞∞--=-⋅
()()w hp
t t th mH m
∞∅=
-
1.3数值离散
1.3.1区域离散
计算区域总节点数取N 。

1.3.2微分方程的离散
对任一借点i 有：22
20i d m dx θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
用θ在节点i 的二阶差分代替θ在节点i 的二阶导数，得：211
2
20i i i i m x θθθθ+--+-=
整理成迭代形式：()1122
1
2i i i m x θθθ+-=++ (i=2,3……,N-1)
1.3.3边界条件离散
补充方程为：11w θθ==
右边界为第二类边界条件，边界节点N 的向后差分得：1
0N N x
θθ--=，将此式整理为
迭代形式，得：N 1N θθ-=
1.3.4最终离散格式
11w θθ==
()1
1221
2i i i m x
θθθ+-=
++ (i=2,3……,N-1) N 1N θθ-=
1.3.5代数方程组的求解及其程序
假定一个温度场的初始发布，给出各节点的温度初值：01θ，02θ，….，0
N θ。

将这些初
值代入离散格式方程组进行迭代计算，直至收敛。

假设第K 步迭代完成，则K+1次迭代计算式为：K 1
1
w θθ+=
()
11
11
2212i i K K K i m x
θθθ+-++=
++ (i=2,3……,N-1) 1
11N K K N θθ-++=
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define N 11
main()
{
int i;
float cha;/*cha含义下面用到时会提到*/
float t[N],a[N],b[N];
float h,t1,t0,r,D,H,x,m,A,p; /*r代表λ,x代表Δx，D代表δ*/
printf("\t\t\t一维稳态导热问题\t\t");
printf("\n\t\t\t\t\t\t----何鹏举\n");
printf("\n题目：补充材料练习题一\n");
printf("已知：h=45，t1=80, t0=200, r=110, D=0.01, H=0.1 (ISO)\n");
/*下面根据题目赋值*/
h=45.0; t1=80.0; t0=300.0; r=110.0; D=0.01; H=0.1;
x=H/N; A=3.1415926*D*D/4; p=3.1415926*D; m=sqrt((h*p)/(r*A));
/*x代表步长，p代表周长，A代表面积*/
printf("\n请首先假定一个温度场的初始分布，即给出各节点的温度初值：\n");
for(i=0;i<N;i++)
{
scanf("%f",&t[i]);
a[i]=(t[i]-t1)/(t0-t1);
b[i]=a[i];/*这里b[i]用记录一下a[i]，后面迭代条件及二阶采用温度初场要用到*/ }
/*采用一阶精度的向后差分法数值离散*/
cha=1;
while(cha>0.0001)
{
a[0]=1;
for(i=1;i<N;i++)
a[i]=(a[i+1]+a[i-1])/(2+m*m*x*x);
a[N-1]=a[N-2];
cha=0;
for(i=0;i<N;i++)
cha=cha+a[i]-b[i];
cha=cha/N;/*cha代表每次迭代后与上次迭代各点温度差值的平均值*/
}
for(i=0;i<N;i++)
t[i]=a[i]*(t0-t1)+t1;
printf("\n\n经数值离散(一阶精度的向后差分法)计算得肋片的温度分布为:\n");
for(i=0;i<N;i++)
printf("%4.2f\t",t[i]);
printf("\n\n");
getchar();
/*采用二阶精度的元体平衡法数值离散(温度初值还用设定的初场，便于比较)*/ for(i=0;i<N;i++)
a[i]=b[i];
cha=1;
while(cha>0.0001)
{
a[0]=1;
for(i=1;i<N;i++)
a[i]=(a[i+1]+a[i-1])/(2+m*m*x*x);
a[N-1]=a[N-2]/(1+0.5*m*m*x*x);
cha=0;
for(i=0;i<N;i++)
cha=cha+a[i]-b[i];
cha=cha/N;
}
for(i=0;i<N;i++)
t[i]=a[i]*(t0-t1)+t1;
printf("\n\n经数值离散(二阶精度的元体平衡法)计算得肋片的温度分布为:\n"); for(i=0;i<N;i++)
printf("%4.2f\t",t[i]);
printf("\n\n");
getchar();
}
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