由 Tb 与 r 无关、 与 x 无关以及
T T 、 的表达式可知，在常见的四种边界条件中除了 x r
Tw 0 ，则该无量纲温度定义是可以用分 r
轴向及周向均匀热流 q w const 的情况外，有 离变量法的； 3）由
T Tw 得： T Tw
T (T Tw ) Tw
3
由 T 可得：
T T [(T Tw ) Tw ] (1 ) w x x x
T T [(T Tw ) Tw ] (T Tw ) (1 ) w r r r r
同 2）分析可知，除了轴向及周向均匀热流 q w const 的情况外，有 温度定义是可以用分离变量法的；
（1）
c p u
T dT u 1 2q U T 2R u 1 c p u b c p u m A b ( ) q0 0 2 x x dx u m A 2 u m R RU m 2
将上式代入式（1）可得：
5
2U 1 1 1 ( ) ( ) U m
6
5－2
1．一维稳态无源项的对流－扩散方程如下所示：
u
边界条件如下：
2 2 x x
x L, L
（取常物性）
x 0, 0 ;
上述方程的精确解如下：
0 e ( Pe x / L ) 1 L 0 e Pe 1
2．将 L 分成 20 等份，所以有：
化简得：
Tb q R 1 1 q0 R ( R 0 ) ( ) x R R R R R
T R 1 1 1 c p u b ( ) ( ) q0 x
由热平衡条件关系可以得：
边界条件：
1 u 1 u p (r ) ( ) 0 r r r r r x p 0 r p 0 r R ，u 0 u u 0 ；对称线上， 0 r 0， r T 1 T 1 (r ) x r r r r T T r R， qw ； r 0 ， r r T 0 0 / ，
i 2,20
i
(1 0.5P )i 1 (1 0.5P )i 1 2
i 2,20
i
i 1 (1 P )i 1
2 P
i 2,20
i
(1 0.5P )i 1 (1 0.5P )i 1 2
当 P 5,10 时，中间节点： 4） QUICK 格式
2
结果比较如下，由比较可知两者值非常切合（在小数点后 8 位之后才有区别） ：
节点 1 节点 2 节点 3 字段 4 字段 5 字段 6 字段 7 字段 8 字段 9 字段 10
T 的初始值 1.4686939 1.1594949 .53424416 -.50680737 -2.0679442 -4.2476615 -7.1232765 -10.72954 -15.03053 -19.884531 T 的计算值 1.4686939 1.1594949 .53424416 -.50680737 -2.0679442 -4.2476615 -7.1232765 -10.72954 -15.03053 -19.884531
习题 4-14
充分发展区的温度控制方程如下：
c p u
对于三种无量纲定义
T 1 T (r ) x r r r
T Tw T Tw T T 、 、 进行分析如下 Tb Tw Tw T T Tw
T (Tb Tw ) Tw
Tw 0 ，该无量纲 r
R L q=0 图 4－24
习题 4－18
1）采用柱坐标分析，写出统一的稳态柱坐标形式动量方程：
1 1 1 1 ( u ) (rv ) ( w ) ( ) (r ) ( )S x r r r x x r r r r r x 、 r 和 分别是圆柱坐标的 3 个坐标轴， u 、 v 和 w 分别是其对应的速度分量，其中 x 是
( R 2
dp 1 dp 1 U) ( R 2 U) 1 dx ) dx ) p 0 ( R R R x
1 U 1 1 U ( ) ( ) 1 0
边界条件：
1，U 0
1）由
T Tw 得： Tb Tw
由 T 可得：
T T T [(Tb Tw ) Tw ] b (1 ) w x x x x T T [(Tb Tw ) Tw ] (Tb Tw ) (1 ) w r r r r
不考虑液体的轴向导热，并简化分析可以得到充分发展的能量方程为：
c p u
(
T ) r
边界条件：
0
4
2）定义无量纲流速：
U
u
R2 dp dx
并定义无量纲半径： r / R ；将无量纲流速和无量纲半径代入 x 方向的动量方程得：
1 ( R R R
上式化简得：
由 Tb 与 r 无关、 与 x 无关以及
T T 、 的表达式可知，除了 Tw 均匀的情况外，该无量 x r
纲温度定义在一般情况下是不能用分离变量法的； 2）由
T T 得： Tw T
T (Tw T ) T
由 T 可得：
T T [(Tw T ) T ] w x x x T T [(Tw T ) T ] (Tw T ) w r r r r
0，
定义无量纲温度：
U U 0 0 ；对称线上，

T Tb q0 R /
qw ； R
其中， q 0 是折算到管壁表面上的平均热流密度，即： q 0
由无量纲温度定义可得：
T
q0 R

Tb
将 T 表达式和无量纲半径 代入能量方程得：
c p u
对于节点 3 中的相关项作局部线性化处理，然后迭代计算； 求解结果：
T2 82.818 ， T3 35.635 （迭代精度为 10-4）
迭代计算的 Matlab 程序如下： x=30; x1=20; while abs(x1-x)>0.0001 a=[1 0 0;5 -10 5;0 -1 1+2*(x-20)^(0.25)]; b=[100;-150; 15+40*(x-20)^(0.25)]; t=a^(-1)*b;
数值传热学 4-9 章习题答案 习题 4－2
一维稳态导热问题的控制方程：

2T S 0 x 2
1
2
3 h,Tf
依据本题给定条件，对节点 2 采用二阶精度的中心差分格式， 节点 3 采用第三类边界条件具有二阶精度的差分格式，最后得到各节点的离散方程： 节点 1： 节点 2： 节点 3： 求解结果：
边界条件：
0，
q w 1 0 ； 1 ， q0 R
0，
单值条件： 由定义可知：
0 ； ， 0
b
b
Tb Tb 0 q0 R /
A
且：
U d A U d A
A A
即得单值性条件：
UdA 0 UdA
A
3）由阻力系数 f 及 Re 定义有：
dp / dx u m De 8 f Re De ( ) 1 2 Um u m 2
且：
De D
2
Nu
q0 D 2 2 ~ TW ,m Tb TW ,m Tb W , m ( ) q0 R /
习题 4－5
在 4－2 习题中，如果 h 10 (T3 T f ) 节点 1： 节点 2： 节点 3：
0.Hale Waihona Puke 5，则各节点离散方程如下：
T1 100
5T1 10T2 5T3 150
T2 [1 2 (T3 20) 0.25 ]T3 15 40 (T3 20) 0.25
1
x1=x; x=t(3,1); end tcal=t
习题 4-12 的 Matlab 程序
%代数方程形式 AiTi=CiTi+1+BiTi-1+Di mdim=10;%计算的节点数 x=linspace(1,3,mdim);%生成 A、C、B、T 数据的基数； A=cos(x);%TDMA 的主对角元素 B=sin(x);%TDMA 的下对角线元素 C=cos(x)+exp(x); %TDMA 的上对角线元素 T=exp(x).*cos(x); %温度数据 %由 A、B、C 构成 TDMA coematrix=eye(mdim,mdim); for n=1:mdim coematrix(n,n)=A(1,n); if n>=2 coematrix(n,n-1)=-1*B(1,n); end if n<mdim coematrix(n,n+1)=-1*C(1,n); end end %计算 D 矢量 D=(coematrix*T')'; %由已知的 A、B、C、D 用 TDMA 方法求解 T %消元 P(1,1)=C(1,1)/A(1,1); Q(1,1)=D(1,1)/A(1,1); for n=2:mdim P(1,n)=C(1,n)/(A(1,n)-B(1,n)*P(1,n-1)); Q(1,n)=(D(1,n)+B(1,n)*Q(1,n-1))/(A(1,n)-B(1,n)*P(1,n-1)); end %回迭 Tcal(1,mdim)=Q(1,mdim); for n=(mdim-1):-1:1 Tcal(1,n)=P(1,n)*Tcal(1,n+1)+Q(1,n); end Tcom=[T;Tcal]; %绘图比较给定 T 值和计算 T 值 plot(Tcal,'r*') hold on plot(T)