高三第一轮复习数学---点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系一、教学目标：通过练习掌握基本知识,并能综合运用所学知识正确解题二、教学重点：综合运用所学知识正确解题三、教学过程：（一）主要知识：1、 若圆(x-a)2+(y-b) 2=r 2，那么点(x 0,y 0)在()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-+-⇔<-+-⇔=-+-⇔220202202022020r b y a x r b y a x r b y a x 圆外圆内圆上2、直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。

有两种判断方法：（1） 代数法（判别式法）⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆相离相切相交000（2） 几何法，圆心到直线的距离⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<相离相切相交r d r d r d一般宜用几何法。

3、弦长与切线方程，切线长的求法（1）弦长求法一般采用几何法：弦心距d ，圆半径r ，弦长l ，则2222r l d =⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （2）改写圆方程写出圆的切线方程：(x 0,y 0)为切点的圆的切线方程，分别以x 0x, y 0y,2,200y y x x ++改写圆方程中的x 2，y 2,x,y （3） 切线长()()22020002020r b y a x F Ey Dx y x d --+-=++++=4、圆与圆的位置关系相离⇔+>2121r r O O外切⇔+=2121r r O O相交⇔+<<-212121r r O O r r内切⇔-=2121r r O O内含⇔-<2121r r O O5、圆系方程（1）以(a,b)为圆心的圆系方程：()()()0222≠=-+-r r b y a x 。

（2）过两圆0:111221=++++F y E x D y x C 和0:222222=++++F y E x D y x C 的交点的圆系方程：()022********=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ但不含C 2 1-=λ时，()()()0:212121=-+-+-F F y E E x D D l 为两圆公共弦所在直线方程 其中当两圆相切时，L 为过两圆公共切点所在直线的方程。

（二）例题分析：例1、已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值。

解法一设P(x 1,y 1), Q(x 2,y 2)，由OP ⊥OQ, 得: k OP k OQ = -1即y 1x 1 y 2x 2= -1即x 1x 2+y 1y 2=0 ① 另一方面(x 1,y 1),(x 2,y 2)是方程组⎩⎨⎧ x+2y-3=0 x 2+y 2+x-6y+m=0的实数解， 即x 1,x 2是5x 2+10x+4m-27=0 ② 的两个实数根，∴x 1+x 2=-2,x 1x 2=4m-275③ 又P,Q 在直线x+2y-3=0上，∴y 1y 2=14 (3-x 1)(3-x 2)= 14[9-3(x 1+x 2)+x 1x 2] 将③代入得y 1y 2= m+125④ 将③④代入①知：m=3.代入方程②检验∆＞０成立． ∴m=3解法二将3=x+2y 代入圆的方程知：x 2+y 2+13 (x+2y)(x-6y)+ m 9(x+2y)2=0, 整理得：(12+m)x 2+4(m-3)x y+(4m-27)y 2=0由于x ≠0可得(4m-27)( y x )2+4(m-3) y x+12+m=0，∴k OP , k OQ 是上方程的两根, 由k OP k OQ = -1知: m+124m-27=-1, 解得:m=3. 检验知m=3为所求. 【思维点拨】这是用韦达定理解题的典型题，在以后的圆锥曲线中也有同类型题，注意∆＞０的检验练习（变式1）：若直线ax+by=1与圆x 2+y 2=1相交，则点P(a,b)的位置是（ ）A 、在圆上B 、在圆外C 、在圆内D 、都有可能变式2、过点（2，1）的直线中，被x 2+y 2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是（ A ）A 、3x-y-5=0B 、 3x+y-7=0C 、 x+3y-5=0D 、x-3y+1=0 例2、已知圆C ：,25)2()1(22=-+-y x 直线)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++.（1） 证明不论m 取什么实数，直线与圆恒交于两点；（2） 求直线被圆C 截得的弦最小时的方程.解 （１）l 的方程为（x+y-4）+m(2x+y-7)=0 ∵m ∈R ∴x+y-4=0,且2x+y-7=0,得x=3, y=1即l 恒过定点Ａ（３，１）．∵圆心Ｃ（１，２），｜ＡＣ｜＝５ ＜５ ∴点Ａ在圆Ｃ内，从而直线l 恒与圆Ｃ相交于两点．（２）弦长最小值时，l ⊥ＡＣ 由k AC = - 12, 所以l 的方程为2x-y-5=0. 【思维点拨】用直线系方程求点练习（变式3）把直线02=+-λy x 向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆x 2+y 2-2x+4y=0相切，则实数λ的值为（ ）A 、3或13B 、-3或13C 、3或-13D 、-3或-13解：平移后直线032=-+-λy x ，由题意553221=-+⨯--λ，所以3=λ或13例3、过圆x 2+y 2=r 2(r>0)外一点P(x 0,y 0)作圆的两条切线，切点分别为M 、N ，证明直线MN 的方程是x 0x+y 0y=r 2证法一 设M 、N 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2). M 、N 在已知圆x 2+y 2=r 2上，过M 、N 的切线方程分别是x 1x+y 1y=r 2 , x 2x+y 2y=r 2又P 是两切线公共点, 即有x 1x 0+y 1y 0=r 2 , x 2x 0+y 2y 0=r 2上面两式表明点M(x 1,y 1), N(x 2,y 2)都在二元一次方程x 0x+y 0y=r 2表示的直线上，所以直线MN 的方程是x 0x+y 0y=r 2.证法二以OP 为直径的圆的方程为(x- 12 x 0)2+(y- 12 y 0)2= 14(x 02+y 02)即x 2+y 2 -x 0x-y 0y=0又圆的方程是x 2+y 2=r 2两式相减得x 0x+y 0y=r 2. 这便是过切点MN 直线方程。

【思维点拨】（1）体现了曲线与方程的关系；（2）两圆相减得公共弦直线方程例4、已知两个圆C 1：x 2+y 2=4，C 2：x 2+y 2-2x-4y+4=0，直线L:x+2y=0，求经过C 1和C 2的交点且和L 相切的圆的方程。

解：设所求圆的方程为x 2+y 2-2x-4y+4+λ( x 2+y 2-4)=0即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2-2x-4y+4-4λ=0 所以圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛++λλ12,11 半径为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-λλλλ111614122122 依题意有()()211161645141122λλλλ+--+=+++解之得1±=λ，舍去1-=λ，故所求圆的方程为x 2+y 2-x-2y=0。

例5 已知C 1：x 2+y 2-2mx+4y+(m 2-5)=0 与C 2：x 2+y 2-2x-2my+(m 2-3)=0,当m 为何值时：（1）两圆外离（2）两圆外切（3）两圆相交（4）两圆内切（5）两圆内含例6 已知与曲线C ：x 2+y 2-2x-2y+1=0相切的直线L 交x 轴、 y 轴于A 、B 两点, O 为原点, 且|OA|=a, |OB|=b (a>2,b>2)（1）求证曲线C 与直线L 相切的条件是(a-2)(b-2)=2(2) 求线段AB 中点的轨迹方程(3)求ΔAOB 面积的最小值.解 依题意得，直线L 的方程为 x a +y b=1即bx+ay-ab=0，圆C 的方程为(x-1)2+(y-1)2=1 （1） ∵直线与圆相切, ∴|a+b-ab|a 2+b 2=1,化简: (a-2)(b-2)=2 ① （2） 设AB 的中点坐标为(x,y), 则a=2x,b=2y, 代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)= 12(x>1,y>1)（3） 由(a-2)(b-2)=2, 得ab=2a+2b-2 ∴S ΔAOB =12 |ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2)+3≥2(a-2)(b-2) +3=2 2 +3, 当且仅当a=b=2+ 2 时，面积有最小值：2 2 +3.（三）巩固练习：1.x 轴与圆222410x y x y ++-+=的位置关系是（ ）A 相切B 相离C 相交且不过圆心D 通过圆心答案: A2.圆2220x y x +-=与圆2240x y y ++=的位置关系是（ ）A 相离B 外切C 相交D 内切答案:C3.由点M(5,3)向圆222690x y x y +-++=所引切线长是（ ）A B C 51 D 1答案: A4.（2003年上海春季高考题）若过两点A(-1,0),B(0,2)的直线l 与圆22(1)()1x y a -+-=相切,则a=_________________.答案: 45.如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分,且不通过第四象限,那么l 的斜率取值范围是____________.答案: []0,26.方程(0x y +-=的曲线形状是_________________.答案:圆或二射线四、小结：1.有关直线与圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定。

2.弦长计算问题要用直角三角形。

3．直线系，圆系的应用五、作业：。