用构造法求数列的通项公式在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。

但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。

而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。

对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。

下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。

例如：}{n a 数列中，若),(411,211N n a a a nn ∈+==+求a nn n nn b b a b ==+1,1则设+4, 即n n b b -+1＝４，n b {∴｝是等差数列。

可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。

练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311,2111N n a a a nn ∈+==+求a n 2)数列{ a n }中，,22,111+==+n nn a a a a 求a n 通项公式。

3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且求a n . 二．构造形如2n n a b =的数列。

例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+ 解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a na n nb a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列练习：已知正数数列{ a n }中，),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-,求数列{ a n }的通项公式。

三．构造形如n n a b lg =的数列。

例：正数数列{ a n }中，若a 1=10,且),,2(,lg 21lg 1N n n a a n n ∈≥=-求a n . 解：由题意得：n n n n a b a a lg 21lg lg 1=∴=-可设，， 即,211=-n n b b 110lg 211==∴b b n ，是等比数列，公比为)(,)21()21(111N n b n n n ∈=⋅=∴--.即1)21(110,)21(lg -=∴=-n n n n a a练习：（选自2002年高考上海卷）数列{ a n }中，若a 1=3,21n n a a =+,n 是正整数，求数列{ a n }的通项公式。

四．构造形如m a b n n +=的数列。

例：数列{ a n }中，若a 1=6,a n+1=2a n +1, 求数列{ a n }的通项公式。

解：a n+1+1=2a n +2, 即a n+1+1=2（a n +1） 设 b n = a n +1, 则b n = 2 b n-1则数列{ b n }是等比数列，公比是2,首项b １= a １+1＝7,11271,27--⋅=+⋅=∴n n n n a b 即 1271-⋅=∴-n n a ，)(N n ∈构造此种数列，往往它的递推公式形如：的形式和2)1(,1+=+≠+⋅=+n a S c d a c a n n n n 。

如：a n+1＝c a n +d,设可化成a n+1+x=c(a n +x),a n+1=c a n +(c-1)x用待定系数法得： (c-1)x ＝d∴ x=1-c d . 又如：Ｓn +a n =n+2, 则 Ｓn-1+a n-1=n+1,二式相减得：Ｓn －Ｓn-1 +a n －a n-1 =１，即a n +a n －a n-1 =１，∴ 2 a n －a n-1=１，a n =21a n-1+21.如上提到b n = a n ＋11-c d = a n –1练习：1.数列{ a n }满足a n+1=3a n +2, 求a n2.数列{ a n }满足Ｓn +a n =2n+1,求a n五．构造形如n n n a a b -=+1的数列。

例：数列{ a n }中，若a 1=１，a ２=3,a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0 (n ∈N),求a n 。

解： a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0得： a n+2 － a n+1 = - 5（a n ＋１ － a n ） 设b n = a n ＋１ －a n ，则数列{ b n }是等比数列，公比是-5,首项b １= a 2- a 1＝2,∴a n ＋１ －a n =2?(-5)n-1即a ２ －a １=2?(-5) a ３ －a ２=2?(-5)２ a ４ －a ３=2?(-5)３┄a n －a n －１=2?(-5)n-2以上各式相加得：a n －a １=2?［（-5）＋(-5)２＋(-5)３＋┄＋（-5）n-1］即：a n －a １=2?)5(1511-----n ）（3)5(111---+=∴n n a ，即3)5(41---=n n a ，（n )N ∈当递推公式中，a n ＋１与a n 的系数相同时，我们可构造b n = a n ＋１ －a n ，然后用叠加法得：b 1+b 2+b 3+b 4+┄+b n = a n -a 1通过求出数列｛b n ｝前n-1项和的方法，求出数列{ a n }的通项公式。

1) 当递推公式中形如:a n+1=a n +an+b ; a n+1=a n +q n (q ≠1) ; a n+1=a n +q n +an+b 等情形时， 可以构造b n = a n ＋１－a n ,得: b n = an+b ； b n = q n ; b n =q n +an+b 。

求出数列前n-1项的和T n-1,T n-1=b n nn a )1(2)1(-+-; T n-1=qq q n ---1)1(1；T n-1=q q q n ---1)1(1+b n n n a )1(2)1(-+-即： a n －a １=b n nn a )1(2)1(-+-; a n －a １=qq q n ---1)1(1;a n －a １=b n nn a )1(2)1(-+-+q q q n ---1)1(1 从而求出 a n =a １+b n nn a )1(2)1(-+-; a n = a １+qq q n ---1)1(1;a n =a １+b n nn a )1(2)1(-+-+q q q n ---1)1(1。

2）当递推公式中形如:a n+1=a n +)1(1+n n ；a n+1=a n +)12(121+-n n ）（；a n+1=a n +11++n n 等情形可以构造b n = a n ＋１－a n ,得:：b n =)1(1+n n ；b n =)12(121+-n n ）（；b n =11++n n即b n =111+-n n ；b n =)121121(21+--n n ；b n =n n -+1从而求出求出数列前n-1项的和T n-1,T n-1=n 11-；T n-1=)1211(21--n ；T n-1=1-n 即： a n －a １=n 11-;a n －a １=)1211(21--n ; a n －a １=1-n从而求出 a n =a １+n 11-; a n = a １+)1211(21--n ;a n =a １+1-n练习：1）数列{ a n }中，若a 1=1，a n+1-a n =2n, 求通项a n.2）数列{ a n }中，若a 1=1，a n+1-a n =2n , 求通项a n.3) 数列{ a n }中，若a 1=2，n a a n n n -+=+21，求通项a n.六．构造形如nn n a a b 1+=的形式。

例：数列{ a n }中，若a 1=1，n n na a n =++1)1(，求a n. 解：由n n na a n =++1)1(得：11+=+n na a n n∴2112=a a ， 3223=a a ， 4334=a a ，…nn a a n n 11-=- 用累乘法把以上各式相乘得：na a n 11= ∴na n 1=。

当递推公式形如：n n n a q a =+；n n na a n =++1)1(；n n a n na )1(1+=+等形式，我们可以构造nn n a a b 1+=。

可得: n n q b =;1+=n n b n ;nn b n 1+=. 然后用叠乘法得：11321a a b b b b nn =-Λ。

令数列{b n }的前n-1项的积为A n-1,则 2)1(1--=n n n qA ；n A n 11=-;nA n 11=- 从而得到：=1a a n 2)1(-n n q ；=1a a n n 1；=1a a n n1 1a a n =2)1(-n n q ；n a a n 11⋅=；na a n 11⋅=。

练习：1）数列{ a n }中，若a 1=2，n n n a a 2=+，求a n. 七．构造形如n n n ma ab -=+1的形式。

例：数列{ a n }中，a 1=2，S n =4a n-1+1，求a n.解：S n =4a n-1+1，S n-1=4a n-2+1 二式相减：S n -S n-1=4a n-1-4a n-2a n =4a n-1-4a n-2a n -2a n-1=2（a n-1-a n-2）设b n =a n+1-2a n ，当递推公式形如 S n+1=4a n +2;a n+2=pa n+1+qa n (p+q=1) 等形式时，因a n -2a n+1=2(a n+1-2a n );a n+2-a n+1=(p-1)(a n+1-a n ), 我们构造b n =a n+1-2a n ; b n =a n+1-a n ,由等比数列知识得b n =(a 2-a 1)·2n-1; b n =(a 2-a 1)·(p -1)n-1 从而得到a n+1=2a n +(a 2-a 1)2n-1;a n+1=a n (a 2-a 1)(1-q)n-1 由类型四求出a n 。