常见的递推数列的求法：
(1)形如a n +1=a n +f (n )的一阶递归式，其通项求法为 (累加法)： a n =a 1+∑(a k +1-a k )= a 1+∑f (k )
(2)形如a n +1=f (n )a n 的递归式，其通项求法为(累积法)：a n =a 1·∏
a k +1a k
= a 1·∏f (k )∵
(3)形如a n +1=pa n +q (其中p ≠1)的递归式，
法一：由a n +1=pa n +q 及a n =pa n -1+q ，两式相减得a n +1-a n =p (a n -a n -1)，可得：数列{a n +1-a n }是首项为a 2-a 1，且公比为p 的等比数列，先求出a n +1-a n ，再累加求出a n ；
法二：则两边同时加上q p -1，变为a n +1+ q p -1 = p (a n + q p -1)，显然是以a 1+ q p -1
为首项，p 为公比的等比数列，此法叫做特征根法； (4) 形如a n +1=pa n +f (n )(其中p ≠1)的递归式，其中f (n )不是常数， 由p ≠1，则两边同时除以p n +1，变形为
a n +1p n +1 = a n p n + f (n )p n +1，令
b n = a n p n ，得b n +1= b n + f (n )p n +1，先累加求出b n ，再求a n ．即利用叠加法易得：a n p n = a 1p + ∑f (k )p k +1，从而a n =p n -1(a 1+∑f (k )p
k +1)。

(5)形如a n +1=f(n)a n +g (n )(其中p ≠1)的递归式，其中f (n ),g(n)不是常数．
（6）特征根法：
a n +2=pa n +1+qa n ，特征方程为x 2=px +q ，令其两根为x 1，x 2，
② 当12x x ≠时，则其通项公式为:a n =Ax 1n +Bx 2n ，A 、B 用待定系数法求得；
②当12x x =时，则其通项公式为:1()n n a A Bn x =+，A 、B 用待定系数法求得．
(7) 不动点法：
当f (x )=x 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法．
典型例子：a n+1=aa n+b
ca n+d，令x=
ax+b
cx+d，即cx
2+(d-a)x-b=0，设此方程的两个根
为x1，x2，
（1）若x1=x2，则有
1
a n+1-x1
=
1
a n-x1
+p，其中p可以用待定系数法求解，
为p=
2c
a+d，然后再利用等差数列通项公式求解。

（2）若x1≠x2，则有a n+1-x1
a n+1-x2
=
qa n-x1
a n-x2
，其中q可以用待定系数法求解，为
q=a-cx1
a-cx2
，然后再利用等比数列通项公式求解．。