课题：数列的实际应用
教学目标：1.理解“复利”的概念，能解决分期付款的有关计算方法；
2.能够把实际问题转化成数列问题．
教学重点：建立数列模型解决数列实际应用问题．
（一）主要知识：
1.解应用问题的核心是建立数学模型；
2.一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型；
n a S）．
3.注意问题是求什么（,,
n n
（二）主要方法：
1.解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答；
2.在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确；
3.在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系；
4.在近似计算时，要注意应用对数方法和二项式定理，且要看清题中对近似程度的要求．（三）典例分析：
问题1．（05上海）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底()1该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？()2当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
问题2．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并
199
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入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润； 乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． 两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：
1010
1.1
2.594,1.31
3.796
==）
问题3．（03京春）如图，在边长为l 的
等边ABC △中，1O ⊙为ABC △的内切圆，
2O ⊙与1O ⊙外切，且与AB ，BC 相切，…， 1n O +⊙与n O ⊙外切，且与AB 、BC 相切，
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如此无限继续下去.记n O ⊙的面积为n a ()
*
n N ∈.
（Ⅰ）证明{}n a 是等比数列； （Ⅱ）求()12lim n n a a a →∞
++⋅⋅⋅+的值.
问题4．（07上海） 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%，以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如2003年的年生产量的增长率为36%）．
202
()1求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；
()2目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到
2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
（四）巩固练习：
1.某工厂总产值月增长率为p ，则年平均增长率为
.A p .B 12p .C ()121p + .D ()12
11p +-
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2.（04重庆理）如图1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为
1
2
的半圆后得到图形2P ，
然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形3P 、4P 、…，n P ，…记纸板n P 的面积为n S ，则
lim n n S →∞
=
（五）课后作业：
1.家用电器一件2000元，实行分期付款，每期为一个月，购买后一个月付款一次，再过一个月又付款一次，共付12次即购买一年后付清，按月利率10%，每月复利一次计算，则每期应付款 元.
2.（02全国）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
1P
2P
3P 4P
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（六）走向高考：
（07安徽）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，因此，历年所交纳的储备金数目12a a ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，．以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．()1写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系
式；()2求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．。