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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
Wishart分布是一元统计中χ2分布的推广
.多元正态总体Np(μ,Σ)中,常用样本均值向 量X作为μ的估计，样本协差阵S＝A/(n-1)
作为Σ的估计.由第二章的定理2.5.2已给出
了X～Np(μ,Σ/n).S~? .
而Zα～Np(0,Σ)(α=1,…,n-1)相互独立,由定 义 3.1.4可知A～Wp(n-1,Σ).
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质
由于Wishart分布是χ2分布的推广,它具有χ2分
结论3 设X～Nn(0 ,σ2In), A为n阶对称方阵,
rk(A)= r,则二次型 X'AX/σ2～χ2(r)
A2＝A(A为对称幂等阵).
特例:当A=In时, X In X / 2 X X / 2~2 (n )7
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--非中心 t 分布和F分布
设Xi ～N1(μi ,σ2)(i =1,...…,n),且相互独立，记
结论1
一般情况(μi ＝0，σ2 ≠1时),
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
结论2 当μi≠0(i=1,…,n),σ2 =1时,X′X的
分布常称为非中心χ2分布.
定义3.1.1 设n维随机向量X～Nn(μ,In)
其中
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
当X(α)～Np(μα ,Σ) (α＝1,…,n) 相互独立时，非 中心参数
这里
其中p为随机矩阵W的阶数,n为自由度,一元统计 中的σ2对应p元统计中的协差阵Σ.
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
是由来自总体N(μ, σ2)的样本导出的检验
统计量. 推广到多元统计分析后，也有相应于
以上三个常用分布的统计量: Wishart, Hotelling T 2,Wilks Λ统计 量,讨论这些统计量的分布是多元统计分
析所涉及的假设检验问题的基础.
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
推广到p维正态总体时，随机矩阵W的分布是 什么?
互定独义立3，.1.则4 称设随X(机α) ～矩N阵p(0W ,Σ) (αn＝X1(,)…X(,n))相XX 1
的分布为Wishart分布(威沙特分布)，记 为W～Wp(n,Σ). n
一元统计中，用样本方差 作为σ2的估计，而且知道
s2
1n n1i1(X(i)
X)2
1
2
n
(X(i)X)2~
2(n1)
i1
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
推广到p元正态总体,样本协差阵S＝A/(n-1)
及随机矩阵A(离差阵)的分布是什么?
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质
性质1 设X(α)～Np(μ,Σ) (α＝1,…,n)相互独立 ，则样本离差阵A服从Wishart分布，即
n
A (X ()X )X (()X )~ W p(n 1 , ) 1
证明 根据第二章§2.5的定理2.5.2知
n1
A Z Z 1
§3.1 几个重要统计量的分布--非中心t分布的应用
当否定H0 第一类错误的概率＝P｛“以真当假”｝ ＝P｛|T|＞λ|μ＝μ0 ＝显著性水平α.
当H0 第二类错误的概率＝P｛“以假当真”｝ ＝P｛|T|≤λ|μ=μ1 ≠μ0 ｝
=β.
此时检验统计量T～t(n-1,δ),利用非中心 t分
布可以计算第二类错误β的值.
显然p=1时 W X2 ~22(n) , 即 () 1
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
一般地,设X(α)～Np(μ,Σ) (α＝1,…,n) 相互独立, 记
则称W＝X'X服从非中心参数为Δ的非中心 Wishart分布,记为W～Wp(n,Σ,Δ).
(μ≠0),则称随机变量ξ＝X'X为服从
n
n个自由度,非中心参数 i2
的χ2分布，记为
i1`
X X ~ 2 (n ,),X X ~ n 2 ()
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
则 Y Y 1 2X X ~ 2(n ,)其 , 中 1 2
定义3.1.2
定义3.1.3
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--非中心t分布的应用
一元统计中，关于一个正态总体N(μ,σ2)的均 值检验中，检验H0：μ＝μ0时，检验统计量
否定域为{|T|＞λ}，其中λ满足： P{|T|＞λ}=α(显著性水平).验
应用多元统计分析
第三章 多元正态总体
参数的假设检验(一)
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
目 录(一)
§3.1 几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布 二、威沙特分布 三、霍特林T2分布
§3.2 单总体均值向量的检验及置信域
§3.3 多总体均值向量的检验
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
设X(α) (α＝1,…,n)为来自Np(0,Σ)的随机样本,
考虑随机矩阵 n
X(1)
W X()X() X(1),,X(n)
1
的分布.当p=1时，
XX X(n) pnnp
n
X(1)
W X2 () 1
X(1),,X(n)
XX~ X(n) 1nn1
2 2(n).
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
一元统计中,参数μ,σ2的检验 涉及到一个总体、二个总体,乃至 多个总体的检验问题;
推广到p元统计分析中，类似地 对参数向量μ和参数矩阵Σ 涉及 到的检验也有一个总体、二个总体 ,
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
在一元统计中，用于检验μ, σ2的抽 样分布有χ2分布,t 分布,F分布等,它们都