①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；
④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心，其中正确命题的命题是______．
19．已知三棱锥O-ABC，OA=5，OB=4，OC=3，∠AOB=∠BOC=60°，∠COA=90°，M、N分别是棱OA、BC的中点，则MN=______．
①f（1）= π
②f（ ）= π
③f（ ）= π
④函数f（r）在（0，1）上是增函数，f（r）在（ ， ）上是减函数
其中为真命题的是______（写出所有真命题的序号）
如图是边长分别为a、b的矩形，按图中实线切割后，将它们作为一个正四棱锥的底面（由阴影部分拼接而成）和侧面，则 的取值范围是______．
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
3．下列命题：
（1）三棱锥的四个面不可以都是钝角三角形；
（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
（3）有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台．
其中正确命题的个数是 （ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．棱锥侧面是有公共顶点的三角形，若围成一个棱锥侧面的三角形都是正三角形，则这样侧面的个数最多有几个（ ）
其中正确命题的个数为（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
答案：C
解析：
解：根据正方体的表面展开图，可画出正方体直观图，如右图所示．
易知AF与NC异面，故①错；
由四边形BENC为平行四边形可知，BE∥NC，故②错；
∵DE∥FC，∴AF与DE所成角即为AF与FC所成角，
而在等边三角形AFC中，AF与FC所成角为60°，故③对；
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
9．已知三棱锥A-PBC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，BA=CA=2PA=2，则三棱锥A-PBC底面PBC上的高是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直平行六面体}，则（ ）
A．A⊆B⊆C⊆D
∴长方体的体积等于 ．
故选A．
2．平行六面体ABCD-A1B1C1D1的六个面都是菱形，则点D1在面ACB1上的射影是△ACB1的（ ）
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
答பைடு நூலகம்：C
解析：
证明：如图：设点D1在面ACB1中的射影为点M，连接B1D1、B1M
则B1M是B1D1在面ACB1中的射影
∵该平行六面体各个表面都是菱形
（3）l3＜a3+b3+c3；
（4）l3＞a3+b3+c3．
26．已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q是面对角线A1C1上的两个不同动点．给出以下判断：
①存在P，Q两点，使BP⊥DQ；
②存在P，Q两点，使BP，DQ与直线B1C1都成45°的角；
③若|PQ|=1，则四面体BDPQ的体积一定是定值；
B．45°
C．60°
D．75°
答案：C
解析：
解：过M做平面PBC的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ．
∵∠APB=∠APC=90°，∴AP⊥平面PBC，
∵MQ⊥平面PBC，∴AP∥MQ
∵∠MPA=60°，∴∠MPQ=90°-60°=30°．
由公式：cos∠MPB=cos∠MPQ×cos∠QPB，得到cos∠QPB=
其中正确命题的个数是 （ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：A
解析：
解：（1）可举特例，取以点O为端点的三条线段OA、OB、OC，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=100°，且OA=OB=OC，这时 都是钝角三角形，只有△ABC是等边三角形，可让点C沿OC无限靠近点O，则∠ACB就可趋近于100°，所以，每个面都可以是钝角三角形，故（1）不正确；
故选：C．
10．已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直平行六面体}，则（ ）
A．A⊆B⊆C⊆D
B．C⊆A⊆B⊆D
答案：D
解析：
解：如图，三棱锥中，若PA=PB=PC=AB=AC=BC，则每个面都是边长相等的正三角形．
∴三棱锥P-ABC是正四面体．
即棱长均相等的四面体是正多面体
故选D．
如图是正方体的表面展开图，在这个正方体中有如下命题：
①AF∥NC；
②BE与NC是异面直线；
③AF与DE成60°角；
④AN与ME成45°角．
如图是正方体的表面展开图，在这个正方体中有如下命题：
①AF∥NC；
②BE与NC是异面直线；
③AF与DE成60°角；
④AN与ME成45°角．
其中正确命题的个数为（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，M在△ABC内，∠MPA=60°，∠MPB=45°，则∠MPC的度数为（ ）
④若|PQ|=1，则四面体BDPQ的表面积是定值．
⑤若|PQ|=1，则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值．
其中真命题是______．（将正确命题的序号全填上）
评卷人
得 分
三．简答题（共__小题）
如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60°的角，且AD=BC=4，平行于AD与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H．
①存在点D，使四面体ABCD有3个面是直角三角形；
②存在点D，点O在四面体ABCD的外接球球面上；
③不存在点D，使CD与AB垂直并且相等；
④不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥．
其中真命题的序号是______．
22．已知动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上运动，且PA=r（0＜r＜ ），记点P的轨迹长度为f（r）给出以下四个命题：
∴AC∥A1C1，B1D1⊥A1C1
∴B1D1⊥AC
∴由三垂线定理知B1M⊥AC
同理可证AM⊥B1C，CM⊥AB1
∴点M是△ACB1的垂心
故选C
3．下列命题：
（1）三棱锥的四个面不可以都是钝角三角形；
（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
（3）有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台．
1．若长方体三个面的面积分别为 ，则长方体的体积等于（ ）
A．
B．6
C．
D．36
答案：A
解析：
解：如图，
设长方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AA1B的面积为 ，侧面AA1D的侧面积为 ，侧面ABD的侧面积为 ．
再设侧棱AA1=a，AD=b，AB=c．
则 ，三式作积得：a2b2c2=6．
∴abc= ．
空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是______．
25．长方体的长、宽、高分别为a，b，c，对角线长为l，则下列结论正确的是______（所有正确的序号都写上）．
（1）l＜a+b+c；
（2）l2=a2+b2+c2；
B．C⊆A⊆B⊆D
C．A⊆C⊆B⊆D
D．它们之间不都存在包含关系
11．若一个三棱锥的一条棱长为x，其余棱长为2，则x的取值范围是（ ）
A．（0， ）
B．（0， ）
C．（0， ）
D．（ ， ）
如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．AD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
（1）证明A′E⊥B′D′；
（2）求AE的长．
30．在三棱锥S-ABC中，AB=AC，SB=SC．求证：SA⊥BC．
高中数学学科测试试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分
一．单选题（共__小题）
高中数学学科测试试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分
一．单选题（共__小题）
1．若长方体三个面的面积分别为 ，则长方体的体积等于（ ）
A．
B．6
C．
D．36
2．平行六面体ABCD-A1B1C1D1的六个面都是菱形，则点D1在面ACB1上的射影是△ACB1的（ ）
A．
B．
C．
D．
评卷人
得 分
二．填空题（共__小题）
15．如果三棱锥的三条斜高相等，则三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的______．
16．棱长为2的正方体的对角线长为______．
17．侧棱长为5cm，高为3cm的正棱锥的底面积为______．
18．设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：
同理，由ME∥CA知，AN与ME所成角即为AN与CA所成角，
在等边三角形ANC中，AN与CA所成角为60°，故④错；
所以正确的命题有且只有1个，选C．
如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，M在△ABC内，∠MPA=60°，∠MPB=45°，则∠MPC的度数为（ ）