可证明， N 满足如下性质：
N 为厄米算符：


(1)


N

N
（9）
(2) N 在任何状态中的平均值为正定的：

N | N | | a a | a | a || a | 0
2





（ 10）

二、
第8章
力学量本征值 问题的代数法
§8.1 谐振子的Hamiltonian 量的因式分解法
一、用 a, a 重新改写谐振子的Hamiltonian量。 谐振子的Hamiltonian量为：



H
1 2m
2
p
1 2
mw x
2
2
（ 1）
为处理方便，现假定采用自然单位，则

H
1 2
0 ( x) x | 0 (x
x
2
x
) 0 ( x) 0
由此可得
0 ( x) ce
2

利用归一化条件可得 再将参数带上，
mw 0 (x)
1/ 4 mw 1 2 x
2
0 ( x)
p
2
1

x
2

[N ， ] a a

（18）
可得到：

N a | n n +1)a | n （

（19）
即有：

N | n 1 n +1)| n 1 （

a | n c1 | n 1
由于

n | a a | n n 1| c1c1 | n 1 | c1 |

n | N | n 0
n0
（15）
而由（14）式以及（15）式，可得出

a | 0 0
（16）
并可证明， | 0 为 N

取本征值0时的本征态

N | 0 a a | 0 0
（17）

| 0 通常被称为基态或空态。


2、算符
由
a
作用到 | n 的规律：
2
2
(x p )
（ 2）
现定义算符


a, a
为：


a
1 2

(x i p)
（ 3）

a

1 2


(x i p)
（ 4）
并利用 [ x, p ] i




，可得到： [a, a ] 1 （5）

现利用（3）和（4）式可反解出 x



即有：


N a | n (n 1) a | n
由 N | n n | n
，可知N | Nhomakorabea 1 (n 1) | n 1
则有：

a | n c | n 1

（13）
再利用归一化条件： [ n | a] a | n n 1| c*c | n 1


a
| n
| 0
|1
1 1

a | 0 | 2
1 2
2
………….
| 0
n 1 n!
n
a
a
| 0
的本征值 N
0

1
2
………….
n
（7b）式 H 的本征值：
1 2

3 2
5 2
………….
n
1 2
N 的本征态矢 | n满足正交归一完备性：

n | n
*
2
| c1 | n 1 c1
2

n 1
（20）
a | n

n 1 | n 1
因此，
a 通常被成为升算符或产生算符。
由（15）式可知，n取的最小值为0，故据（20）式
有如下结论，

N
的所有本征态由 a 作用到 | 0 上便可得：
n 1 1 n 1
'
nn
'
| nn | 1
n
由 {| n , n 0,1, 2...} 作为基矢集所构成的表象为粒
子数表象。 三、 | n在坐标表象中的形式——波函数形式 | 0 的波函数形式： a x i p 由 a | 0 0 而 而 | 0 在x表象中的形式：

1/ 4
e
2
（21）


H

1 2
mw x
2
2
2m
的基态波函数为
m w / （ 22）
e


1/ 4
e
x /2
2
2
其中

激发态波函数为：
n ( x) x | n

1 n!
d
n
x | a
| 0

在坐标表象中，
a

1/4
1
（ x ) dx 2
和 p：
i


x
1
（ a + a） 2
p
（ a - a） 2
m w 1
（ 6）
利用（6）式，（2）式表示的Hamiltonian量为：

H a a 或者

1 2
（ 7a）
H N
1 2
（ 7b）
其中


N a a
（ 8）
被定义为粒子数算符。

n | a a | n | c |

2
n | N | n | c |
2
2
|c| n 即 c
所以,有

n
a | n
n | n 1
（14）

由此我们定义
a 为降算符，或湮灭算符。

另，由前面（10）式可知，在任意态中，N
的平均值为
正定的，
那么在 | n 中的取值也应该式正定的，即
设

N 的本征解（Hamiltonian量的本征解）

N
的束缚方程为


算符 a 作用能够到 | n 的规律： 由于 则


N | n n | n



[ N , a] a

（12）





[ N , a ] | n a | n
（ N a a N ） n a | n |
n

故
n x
1 n!
2
d 2 x 2 / 2 x e dx
（23）