河北省唐山市2021届高三上学期第一次摸底数学试
题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则（）A．B．
C．D．
2. 若复数z满足，则（）
A．B．C．D．2
3. 特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（）
A．24 B．14 C．12 D．8
4. 居民消费价格指数是反映一定时期内城乡居民所购买的生活消费品和服务项目价格变动趋势和程度的相对数，是对城市居民消费价格指数和农村居民消费价格指数进行综合汇总计算的结果.通过该指数可以观察和分析消费品的零售价格和服务项目价格变动对城乡居民实际生活费支出的影响程度.如图，是疫情期间我国的居民消费价格指数与食品类居民消费价格指数折线图，据此图，下列分析中不合理的是（）
A．居民消费价格指数变化幅度相对不大
B．食品类居民消费价格指数变化幅度相对较大
C．食品类居民消费价格指数高于居民消费价格指数
D．食品类居民消费价格指数与居民消费价格指数的变化趋势很不一致5. 下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（）
A．直线与直线平行B．直线与直线相交
C．直线与直线异面垂直D．直线与直线异面且所成的角为60°
6. 已知，若，则（）A．B．C．D．
7. 已知，都是单位向量，满足，则
（）
A．B．C．D．
8. 已知，则（）
A．的值域为
B．在上单调
C．为的周期
D．为图像的对称中心
二、多选题
9. 设，，则（）
A．B．C．D．
10. 若的展开式中的系数是，则（）
B．所有项系数之和为1
A．
C．二项式系数之和为D．常数项为
11. 已知双曲线的一条渐近线，设，是C 的左右焦点，点P在l上，且，O为坐标原点，则（）A．C的虚轴长为B．
C．D．的面积为
12. 已知.（）
A．的零点个数为4 B．的极值点个数为3
C．x轴为曲线的切线D．若，则
三、填空题
13. 已知x，y满足约束条件，则的最小值为_______.
14. 已知等差数列的公差不为零，若，，成等比数列，则
______.
15. F是抛物线的焦点，P是C上且位于第一象限内的点，点P在C 的准线上的射影为Q，且，则外接圆的方程为_____.
16. 已知四棱台中，上、下底面都是正方形，下底面棱长为2，其余各棱长均为1，则该四棱台的外接球的表面积为____________.
四、解答题
17. 在中，角的对边分别为，.有以下3个条件：
①；②；③.请在以上3个条件中选择一个，求面积的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 在数列中，，，.
（1）证明为等比数列；
（2）求.
19. 在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，E是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）直线与平面所成角为45°，求二面角的余弦值.
20. 田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》.齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等.上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序.
（1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率：
（2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率；
（3）写出在一场比赛中田忌胜利的概率（直接写出结果）.
21. 已知椭圆的离心率为，直线交于
，两点；当时，.
（1）求E的方程；
（2）设A在直线上的射影为D，证明：直线过定点，并求定点坐标.
22. 已知，函数.
（1）求函数的最小值；
（2）若，证明，.（提示：）。