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第八章 位 移 法
§8—1 概述 §8—2 等截面直杆的转角位移方程 §8—3 位移法的基本未知量和基本结构 §8—4 位移法的典型方程及计算步骤 §8—5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 §8—6 对称性的利用
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§8—1 概 述
力法和位移法是分析超静定结构的两种 基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位 移法建立于上世纪初。
（2）确定以结构上的哪些位移作为基本未 知量。 （3）如何求出这些位移。
下面依次讨论这些问题。
返5回
§8—2 等截面直杆的转角位移方程
本节解决第一个问题。
用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。
计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位
移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。为了应
1.位移法的基本未知量 在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。
(1) 独立角位移数目的确定 由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个 刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等 于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可 知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
2
3
地加上一个附加刚臂(仅阻止刚结
点转动),同时在有线位移的结点上
加上附加支座链杆(阻止结点移动)。
例如 (见图a) 基本未知量三个。4
5
6
3
4
(a)
1 2
又例如(见图b)
共有四个刚结点，结点线位移 数目为二，基本未知量为六个。 基本结构如图所示。
可由式(8—1）导出，设B端为铰支，则因
MBA= 4i B +2i A__
=0
A
P t1 B
有
EI
t2
l
可见，B可表示为A、△AB的函数。将 此式代入式(8—1)第一式，得
MAB=3iA
(8—3）（转角位移方程）
式中
（8—4）（固端弯矩）
杆端弯矩求出后，杆端剪力便不难由平衡条件求出。 返9回
§8—3 位移法的基本未知量和基本结构
个独立线位移(侧移)。例如(见图a）
△
4、5、6 三个固定 端 都是不动的 1
2△
3△
点，结点1、2、3均无竖向位移。
又因两根横梁其长度不变，故三个 P
结点均有相同的水平位移△ 。
4
5
6
(a)
事实将上结，图构(a的)所刚示结结点构(的包独括立固线定位 支 座移数)都目变，成与图铰(结b)所点示(成铰为结体铰系结的体线系),
力法——以多余未知力为基本未知量， 由位移条件建立力法方程，求出内力后再 计算位移。
位移法—以—某些结点位移为基本未 知量，由平衡条件建立位移法方程，求出 位移后再计算内力。
返3回
位移法的基本概念
以图示刚架为例予以说明
刚架在荷载P作用下将发生如虚 线所示的变形。在刚结点1处发生转
Z1
P
1
Z1
2
角Z1，结点没有线位移。则12杆可 以视为一根两端固定的梁（见图）。 1 其受荷载P作用和支座1发生转角Z1 这两种情况下的内力均可以由力法
A′
X1
1
，
由图知
XA
这里，AB称为弦转角，顺时针为 正。 △1t、△2t 由第七章公式计算。
P
t1 B
L
t2
AB
B
P
t1
B′
t2 X2
X3
XB AB
M1图
1
M
图
2
MP图
返回
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成来自P12
Z1
求得。同理，13杆可以视为一根一 Z1 端固定另一端铰支的梁（见图）。
Z1 EI=常数
而在固定端1处发生了转角Z1，其 内力同样由力法求出。
可见，在计算刚架时，如果以
3
3
ll
22
Z1为基本未知量，设法首先求出Z1，
则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。 返4回
由以上讨论可知，在位移法中须解决以下 问题： （1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生 各种位移以及荷载等因素作用下的内力。
则位移使数其目成是为相几同的何。不因变此添，加实用的上最少
(b)
链移为 位了 移杆数能 数数目简 目，(见捷 ，即地 可图为确 以b)定原。出结结构构的的独独立立线返线11回位
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
用方便，首先推导杆端弯矩公式。 如图所示，两端固定的等截
面梁除，受荷载及温度变化外，两
支座还发生位移：转角 A、 B 及侧移△AB转。角A、B顺时针为 正，△AB则以整个杆件顺时针方 向转动为正。
A EI
A A′
P L AB
t1 B t2
B
在位移法中，为了计算方便，弯
矩的符号规定如下：弯矩是以对杆 端顺时针为正(对结点或对支座以逆
这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。
1
2
例如图示刚架
独立的结点角位移
数目为2。
4
5
3
6
返10回
(2)独立线位移数目的确定
在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。
但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于
是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就
相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
式中
(8—2）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆端
弯矩，称为固端弯矩。
返8回
MAB= 4iA+2iB __ MBA= 4iB +2iA__
(8—1）
式(8—1）是两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式，通常称
为转角位移方程。 对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图)，其转角位移方程
5
6
7
(b)
返12回
位移基本未知量的确定举例
例8-1：试用位移法计算图(a)所 示连续梁，并作梁的弯矩图。
FP=20kN
q=2kN/m
EI
EI
3m 3m
6m
(a)
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解 1)确定位移法基本未知量(图(b))
A
MAB
时针为正图)。中所示均为正值。
B′ MBA
返6回B
用力法解此问题，选取基本 结构如图多。余未知力为X1、X2。
力法典型方程为
11X1+12X2+ △1P+ △1t+ △1△=A
21X1+22X2+ △2P+ △2t +△2△=B
为计算系数和自由项，作 、 、MP图。由图乘法算出：
，
A EI A