M
AB

4i A

2iB

6i
l
M
BA

2i A

4iB

6i
l
由平衡条件得杆端剪力：见图（d)
M AB A
(d)
FQAB
FQAB

FQBA


M
AB
l
M
BA


6i l
A

6i l
B

12i l2
M B A B FQB A
1.两端固定单元，在A端发生一个顺时针的转角 A 。
A MAB A
由力法求得
B MBA
2i
M
AB

4
EI L
A

4i A
M
BA

2
EI L
A

2i A
4i
M
2.两端固定单元，在B端发生一个顺时针的转角B 。
MAB A
B
由力法求得
B MBA
M BA

4
EI L
B

4iB
M AB

2
EI L
B

2iB
3.两端固定单元，在B端发生一个向下的位移 。
§7.1 位移法的基本概念
一、 位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。
结构 在外因作用下
内力 产生 变形
内力与变形间存在关系
分析超静定结构时，有两种基本方法： 第一种：
以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计
算位移——力法。
第二种：
以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算 内力——位移法。
建立力的 平衡方程
D Fp
EA(2 2L
2) FP
由方程解得： 2PL
(2 2)EA
位移法方程
把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：
FNDB

2FP 2 2
FNDA
FNDC

P 2
2
总结一下直接平衡法解题的步骤：
① 确定结点位移的数量； ② 写出杆端力与杆端位移的关系式； ③ 由结点平衡或截面平衡，建立方程； ④ 解方程，得到结点位移； ⑤ 结点位移回代，得到杆端力。
l
q
A
θA
EI=常数 B
l
ql2/24 A
B ql2/48
F1P
C
ql2/12
A
q
ql2/12
C ql 2
F1P 12
B
4
E l
I

A
θA
4
EI l

A
5ql2/48
C
F1 F11 F1P 0
8EI l

A

ql 2 12
0
2
E l
I

A
F11
2
E l
I

A
A
C
4
EθIA
三、位移法的基本假定
1.刚结点所连接的各杆端截面变形后有相同的角位移； 2.各杆端之间的连线长度变形前后保持不变，即忽略杆件
的轴向变形； 3.结点线位移的弧线运动用垂直于杆轴的切线代替，即结
点线位移垂直于杆轴发生。
四、位移法的基本思路 下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。
A 45o B 45o C 结点位移与杆端位移分析
D结点有
D
向下的
△
位移Δ
FP
BD伸长：
杆
端
DA伸长： 2
位
2
移
DC伸长： 2
2
分 析
由材料力学可知：
FNDB

EA L
FNDA FNDC
EA 2L
2 2
杆端力与杆端 位移的关系
由结点平衡： Y 0
NDA
NDB
2
2
NDC FNDB 2 FNDC 2 FNDA FP
1.由杆端位移求杆端内力（形常数）
A


1 A


2 A
MAB
B


1 B


2 B
QAB φA
根据力法可求解：
M AB

4i A

2iB

6i
l
MAB
M BA

2i A

4iB

6i
l
φ1A
图（1）
Δ
φB MBA
QBA
φ1B
MBA
Δ
其中i=EI/l，称为杆件的线刚度
φ2A
φ2B
二、位移法与力法的区别 1.主要区别是基本未知量选取不同
力法：多余未知力作为基本未知量； 位移法：结点位移(线位移和角位移)作为基本未知量。
注意：力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而 位移法的基本未知量与超静定次数无关。
2.建立的基本方程不同 力法：由变形协调条件建立位移方程； 位移法：由平衡条件建立的平衡方程。
B△ MBA
由力法求得
M AB


3EI L2



3i L

M BA 0
6.一端固定一端滑动单元，在A端发生一个顺时针的转角。
A
A MAB
B MBA
由力法求得
M AB

EI L
A

iB
M BA


EI L
A

i A
由单位杆端位移引起的形常数
单跨超静定梁简图
θ=1
A
B
A
θ=1
A A
l
A
F11

4EI A l

4EI A l
B
2
E l
I

A
θA
4i
2
E l
I

A

A

ql3 96 EI
4E l
I
）位移法的基本未知量是结点位移； （2）位移法的基本结构----单跨梁系； （3）位移法的基本方程是平衡方程； （4）建立基本方程的过程分为两步：
1）把结构拆成杆件，进行杆件分析； 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析； （5）杆件分析是结构分析的基础。
图（2）
1）求图(1) 中的φA1,φB1
MAB A
(a)
MAB
B MBA
M =1 A
(b)
1
(c)
A
1 BM = 1
2）求图(2)中 φA2和φB2
3）叠加得到
A
l
l

3EI M AB 6EI M BA l
B


l 6EI
M
AB

i 3EI
M BA

l
变换式上式可得杆端内力的刚度方程（转角位移方程）：
A MAB
B MBA
由力法求得
△
6EI
6i
M AB
L2
L
M BA


6EI L2



6i L

4.一端固定一端铰结单元，在A端发生一个顺时针的转角。
A A
MAB
由力法求得
B MBA
M AB 3iA
M BA 0
5.一端固定一端铰结单元，在B端发生一个向下的位移。
A MAB
§7.2 等截面直杆的刚度方程
一、杆端力和杆端位移的正负规定 1.杆端转角φ、杆两端相对位移Δ以使杆件顺时针转动
为正号。 2.杆端弯矩，对杆端顺时针转动为正号；对支座或结点
逆时针转动为正号。杆端剪力以使作用截面顺时针转 动为正号。
二、形常数和载常数
形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力 载常数：由荷载引起的固端力
第7章 位移法
基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。
教学内容：﹡位移法的基本概念 ﹡等截面直杆的形常数和载常数 ﹡位移法的基本未知量和基本体系 ﹡位移法方程 ﹡位移法计算连续梁和刚架 ﹡位移法计算对称结构