• • • • • • • • • •
由平衡条件： 刚结点B处，杆端弯矩应满足平衡条件 ∑ MB = 0 MBA+M BC = 0 3EIθ B /l – FPl /8+4EIθ B /l =0 7EIθ B /l – FPl /8 =0 θ B=FPl2/56EI 将θ B代入(a) (b)式，则: MBA= 3EI/l · FPl2/56EI = +3FPl/56 M BC=4EI/l · FPl2/56EI-FPl/8 = - 3FPl/56 MCB=2EI/L · FPl2/56EI +FPl/8= +9FPl/56
（变形协调） （平衡条件） 原结构 整体结构 若干根杆件 拆 搭 (还原)
三、需解决的问题
1、单跨（超静定）杆件在杆端发生各种位移作 用下的杆端力，以及单跨杆在各种外因（包 括荷载等因素）作用下的杆端力。 2、讨论结构上的哪些结点位移作为基本未知量。 3、位移法方程的建立及其求解。
§ 7-2 等截面直杆的刚度方程
在各类结构中，常可发现如下几种类型的单跨杆。
因为是从结构中取出来的，杆件两端并不一定是真正 的固定端、铰支端、滑动端、…，各杆端都可能有线位移 和角位移。
本教材采用(a)图模型代替上图所述各单跨 杆件，有普遍性。 梁的两端均为从结构(梁、刚架）中截出的。 (b)图与(a)图相互可替代。(参考分段叠加法) (a)
其中 i=EI/ l 为杆件线刚度。
2、杆端转角与杆端相对线位移之间的关系
A B l
3、考虑两种因素
1 1 A M AB M BA 3i 6i l 1 1 B M AB M BA 6i 3i l
A
θA
EI θB
B
Δ
l
解联立方程，得
M AB 4i A 2i B 6i l M BA 2i A 4i B 6i l （7-5）
FP
⊿
φCD= ⊿ / l CD
-
θD φBE= ⊿ / l BE
⊿
+
注意：杆端弯矩的正负号规则与通常关于 弯矩的正负号规则不同。
（1）此处规则是针对杆端弯矩，而不是针 对杆中任一截面的弯矩。 （ 2 ） 当取杆件（或取结点）为隔离体时 ，杆端弯矩是隔离体上的外力，建立隔离体平 衡方程时，力矩一律以逆时针转向为正。
EI，l
(b)
EI，l
一、由杆端位移引起的杆端力
1 、杆端力和杆端位移的正负号规定
MAB
A θ A φ
EI
θB
B
⊿
MBA FQBA
FQAB
l
MAB
A θ A
φ
EI
θB
B
⊿
MBA FQBA
FQAB
l
•
（1）杆端转角θA 、 θB ，弦转角φ = ⊿ /l均以顺时针 方向转动为正。 • （2）杆端弯矩MAB 、 MBA规定对杆端以顺时针方向 为正。（对结点或支座，则以逆时针方向为正）。 • （3）杆端剪力FQAB 、 FQBA的正方向规定同前。
第七章
位 移 法
Displa
• 一、位移法的提出 • 从理论上讲，用力法可以分析各种（所有） 超静定结构。困难是当未知量较多时，力法方 程不易求解。这个困难对于计算工具落后（无 电子计算机）的年代，是一个很难解决的问题。 • 上世纪初，在力法的基础上提出了位移法， 位移法最主要的研究对象是高次超静定刚架 （多层多跨刚架）。
对于下列三种杆件：
（1）两端固定（刚结）的梁。 （2）一端固定、另一端简支的梁。
（3）一端固定、另一端滑动支承的梁。
表7-1给出了几种常见荷载作用下个杆端弯矩和杆端剪 力。由于它们是只与荷载形式有关的常数，所以又称为载 常数。 表中的杆端弯矩，固端剪力的正负号均按位移法正负 号规定给出，使用时应注意弯矩的受拉方向。
由平衡条件：
6i 6i 12i FQAB FQBA A B 2 l l l
注：
（7-5）（7-6） 公式也可由力法 导出。上下两图 等效。
MAB A θA φ FQAB EI
θB
（7-6）
B
⊿
MBA FQBA B
l
MAB A
θA
EI
φ
θB
⊿
MBA FQBA
FQAB
l
(7-13)
(2) 一端刚结，一端铰结
F M AB 3i A 3i M AB l M BA 0 FQAB FQBA 3i 3i F A 2 FQAB l l 3i 3i F A 2 FQBA l l
(3) 一端刚结，一端滑动
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
因此，这里的规则是把杆端弯矩视为外力， 为了便于建立平衡方程而规定的。 杆端弯矩有双重身份：既是杆件的内力又 是隔离体外力。
二、由杆端位移求杆端力
1、杆端转角与杆端弯矩之间的关系 由单位荷载法：
MAB A θA EI
θB l
B
MBA
1 1 A M AB M BA 3i 6i 1 1 B M AB M BA 6i 3i
(c)
弯矩图如下图所示:
MBA= +3FPl/56
MBC= - 3FPl/56 MCB= +9FPl/56 3FPl/56
FP l /4
9FPl/56
由简例可见位移法的基本思路:
(1)、根据结构的几何条件(包括变形连续条件和边界 支承条件)确定某些结点位移作为基本未知量。 (2)、把每根杆件视为单跨超静定杆，建立其杆端内 力与杆端位移之间的关系。 (3)、根据平衡条件求解结点位移。 (4)、结点位移代入杆端内力公式解出最后内力。
4、矩阵形式
4i M AB M BA 2i FQAB 6i l 2i 4i 6i l 6i l A 6i B l 12i l2
（7-7）
3EI B l
θB
EI=常数 A l/2 FP B l/2
FP l =8 B C
B l
θB
∑MB=0 MBA+M BC =0
A
FP C
FP l 8
+
B
2 EI B l
θB
C
θB FPl 4 EI M BC B l 8
4 EI B l
分析上图所示刚架
• • 刚架在荷载作用下，发生黄线所示变形。 其中，固端C，无任何位移；铰支端A，无线位移， 只有铰位移；结点B为刚结点，联结B结点的两杆杆端有 相同的转角θ B，忽略轴向变形，认为无线位移。 讨论：如何确定每根杆件的内力？ AB杆：可视为一端铰支，一端刚结的梁，在B端发 生杆端转角θ B。 杆端弯矩： MBA=3EIθ B / l (a) （杆端弯矩对杆端顺时针为正）
• • • •
•
• • • •
•
BC杆：可将其视为两端刚结的梁，其上承受竖向 荷载FP ，同时在B 端发生转θ B。 其杆端弯矩可由两部分叠加而成： M BC=4EIθ B /l –FP l / 8 (b) 同理： MCB = 2EIθ B / l+FP l / 8 由（a）、（b）式可见，如θ B已知，则： MBA、 M BC 、MCB即可知，整个刚架的弯矩图即可画出。 因此，以θ B为基本未知量，并设法求出，则各杆 内力均可定出。
MAB
⊿
A
θA
MBA EI B
M AB 4i A 6i l M BA 2i A 6i l
(7-8)
l
（2）B端为铰支座
MAB
⊿
A
θA
EI
M AB
B
3i A 3i l
(7-9)
l
（3）B端为定向支座
MAB
θA
EI A
MBA
M AB i A M BA i A
其中： 4i 2i 6i l
2i 4i 6i l
6i l 6i l 12i l2
称为弯曲杆件的刚度矩阵 ，其中的系数称为刚度系 数，又称形常数。
5、不同支座时的刚度方程 （杆件在一端具有不同支座时的刚度方程）
（1）B端为固定支座
M AB M BA F 4i A 2i B 6i M AB l F 2i A 4i B 6i M BA l
(7-12)
杆端剪力的一般公式为：
6i 6i 12i F FQ AB A B 2 FQAB l l l 6i 6i 12i F FQ BA A B 2 FQBA l l l
(7-10)
l
B
三、由荷载求固端弯矩
• • • • • • 图示两端固定 MF AB 梁承受荷载的情况。 MFAB， MFBA A 称为固端弯矩 。 F F QAB FFQAB ， FFQBA 称为固端剪力。 正负号规定同 杆端力。
FP
q (x )
MFBA
B
FFQBA
根据荷载的不同，可用 力法计算出固端弯矩和固端 剪力。表7 – 1 。
各类杆件在各种荷载作用下杆端弯矩、固端剪力的计 算，均可应用力法算出，在此不再讨论，可自学。
由于实际结构中，各杆方向有所不同，不会与表中情况 完全一样，在使用中应具体情况，具体分析。
四、等截面单跨超静定梁的转角位移方程
• • （1）两端固定梁 等截面两端固定梁同时承受已知的杆端位 移和荷载的作用，杆端弯矩的一般公式为：
基本设想：几何不变体系在一定外因（荷载、支移、 温改等）作用下，内力（反力）与变形之间恒有一定关系。