第十一章三角形11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形.3．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边.三角形任意两边之差小于第三边.例1．小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（）的木条．A．5cm B．3 cm C．17cm D．12 cm【答案】D【解析】试题分析：根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可知：对A，∵4+5=9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误；对B，∵4+3＜9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误；对C，∵4+9＜17，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误；对D，∵4+9＞12，12-9＜4，符合两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，故正确；故选D．考点：三角形的三边关系例2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2，3，5 B．3，3，6 C．2，5，8 D．4，5，6【答案】D．【解析】试题分析：A．2+3=5，故不能构成三角形，故选项错误；B．3+3=6，故不能构成三角形，故选项错误；C．2+5＜8，故不能构成三角形，故选项错误；D．4+5＞6，故，能构成三角形，故选项正确．故选D．考点：三角形三边关系．例3．现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm．从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】试题分析：根据三角形三边关系可知能组成三角形的木棒长度分别为：4cm、8cm、10cm；4cm、6cm、8cm 和4cm、8cm、10cm三种情况．考点：三角形三边关系例4．在下列长度的四根木棒中，能与两根长度分别为4cm和9cm的木棒构成一个三角形的是（）A.4cmB.5cmC.9cmD.13cm【答案】C【解析】试题分析：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.根据这个规律可得这个三角形的第三边长的范围为5＜第三边＜13，则选择9cm.考点：三角形三边关系例5．一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x的取值范围是（）A、1≤x≤3B、1＜x≤3C、1≤x＜3D、1＜x＜3【答案】D．【解析】试题分析：已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可以求出第三边长的范围．试题解析：根据题意得：2-1＜x＜2+1即：1＜x＜3故选D．考点：三角形三边关系．例6．如图，在△ABC中，AD、BF、CE相交于O点，则图中的三角形的个数是（）A．7个B．10个C．15个D．16个【答案】D【解析】根据三角形的概念，最小的有6个，2个组成一个的有3个，三个组成一个的有6个，最大的有一个，则有6+3+6+1=16个11.1.2 三角形的高、中线与角平分线1.三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高.2.三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.3.三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部.但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部.④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点.（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部.）例1．对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（）A．锐角三角形有三条高B．直角三角形只有一条高C．任意三角形都有三条高D．钝角三角形有两条高在三角形的外部【答案】B【解析】试题分析：根据三角形的高的概念，通过具体作高，发现：任意一个三角形都有三条高，其中锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部，据此可知：A、锐角三角形有三条高，说法正确，故本选项不符合题意；B、直角三角形有三条高，说法错误，故本选项符合题意；C、任意三角形都有三条高，说法正确，故本选项不符合题意；D、钝角三角形有两条高在三角形的外部，说法正确，故本选项不符合题意；故选B．考点：三角形的高例2．到三角形三个顶点距离相等的点是（）A．三边高线的交点B．三条中线的交点C．三边垂直平分线的交点D．三条内角平分线的交点【答案】C【解析】试题分析：如图，根据题意可知：由OA=OB，可得点A在线段AB的垂直平分线上；由OB=OC，可得O 在线段BC上；同理可由OA=OC，可得O在线段AC的垂直平分线上；因此可知到三角形三个顶点的距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点．故选C考点：线段的垂直平分线例3．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】试题分析：线段BE是△ABC的高的图是选项D．故选D．考点：三角形的角平分线、中线和高．例4．不一定在三角形内部的线段是（）A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．三角形的中位线【答案】C【解析】试题分析：因为在三角形中，它的中线、角平分线一定在三角形的内部，而钝角三角形的高有的在三角形的外部．故选C．考点：1.三角形的角平分线、中线和高；2.三角形中位线定理．例5．如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D，C，F是垂足，下列说法中错误的是（）．A．△ABC中，AD是BC边上的高B．△ABC中，GC是BC边上的高C．△GBC中，GC是BC边上的高D．△GBC中，CF是BG边【答案】B．【解析】试题分析：三角形的高的定义是三角形中，从三角形的一个顶点向它的对边所引的垂线段即为三角形这边上的高，据此可知，A、△ABC中，AD是BC边上的高，此选项正确；B、△ABC中，GC是BC边上的高，错误；C、△GBC中，GC是BC边上的高，正确；D、△GBC中，CF是BG边，正确．故选：B．考点：三角形的高的定义．例6．三角形中，到三个顶点距离相等的点是（）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点【答案】D．【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质可得：三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．故选D．考点：线段垂直平分线的性质．例7．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．AB=2BF B．AE=BE C．∠ACB D．CD⊥BE【答案】B.【解析】试题分析:∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线∴CD⊥BE，∠ACB ，AB=2BF故选B考点：三角形的高，角平分线，中线..11.1.3 三角形的稳定性11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角1. 三角形的内角和：180°2.直角三角形的两个锐角互余3.有两个角互余的三角形是直角三角形例1．一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠BFD等于（）A．10° B．15° C．30° D．45°【答案】B【解析】试题分析：根据题意可得：∠B=45°，∠EDC=60°，根据∠EDC=∠B+∠BFD求出∠BFD=60°－45°=15°．考点：角度的计算．例2．如图，在△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE//BC，若∠1=155°，则∠B的度数为（）.A．45° B．55° C．65° D．75°【答案】C【解析】试题分析：根据∠1可得∠EDC=25°，根据平行线的性质可得∠C=∠EDC=25°，根据三角形内角和定理可得∠B=180°－90°－25°=65°．考点：平行线的性质、三角形内角和例3．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C等于（）A.45°B.60°C.75°D.90°【答案】C【解析】试题分析：根据题意可设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，则根据三角形的内角和为180°，可得3x+4x+5x=180，解方程的可得x=15，因此∠C=5x°=5×15°=75°.故选C考点：三角形的内角和例4．在△ABC中，∠A＝40 o，∠B＝55 o，则∠C＝o【答案】85°【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理可得∠C＝180°-∠A-∠B=180°-40 o-55°=85°.考点：三角形的内角和定理.11.2.2 三角形的外角1.三级形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角2.三角形的外角和：360°3.三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.——常用来比较角的大小 例1．如果等腰三角形的一个外角等于100度，那么它的顶角等于（ ）A ．100︒B ．80︒C ．8040︒︒或D ．8020︒︒或 【答案】D ． 【解析】试题分析：分两种情况：①若100°是顶角的外角，则顶角=180°-100°=80°；②若100°是底角的外角，则底角=180°-100°=80°，那么顶角=180°-2×80°=20°．故答案选D ． 考点：等腰三角形的性质．例2．如图所示，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°则∠A 等于（ ）A ．90°B ．80°C ．70°D ．60° 【答案】B ． 【解析】试题分析：根据三角形的外角性质:三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和得出ACD B A ∠=∠+∠，代入求得80A ∠=，故选B ．考点：三角形的外角性质．例3．已知△ABC 的一个外角为50°，则△ABC 一定是__________ 三角形． 【答案】钝角 【解析】试题分析：因为△ABC 的一个外角为50°，所以和它相邻的内角=130°，所以△ABC 一定是钝角三角形． 考点：三角形的外角．例4．如图，AD ＝AB ＝BC ，那么∠1和∠2之间的关系是 （ ）A ．∠1＝∠2B ．2∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠1－∠2＝180° 【答案】D 【解析】试题分析：根据题意得：∠1=∠2+∠D ，∠B=∠D ，∠1=∠BAC ，根据△ABD 的内角和可得：∠D=（180－∠BAC －∠2）÷2=（180－∠1－∠2）÷2，∴∠1=∠2+（180－∠1－∠2）÷2，∴3∠1－∠2=180°．考点：三角形内角和定理与外角的性质11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形1.在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.3.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.11.3.2 多边形的内角和多边形的内角和与外角和（识记）（1）多边形的内角和：（n-2）180°（2）多边形的外角和：360°引申：（1）从n边形的一个顶点出发能作（n-3）条对角线；（2）多边形有2)3(-nn条对角线.（3）从n边形的一个顶点出发能将n边形分成（n-2）个三角形；例1．如果一个多边形的每一个外角都等于30°，那么这个多边形是_________边形．【答案】12．【解析】试题分析：根据多边形的外角和为360°，可得一个多边形的每一个外角都等于30°时，这个多边形是考点：多边形的外角和．例2．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A=100°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．【答案】280°【解析】试题分析：如图，由∠EAB+∠5=180°，∠EAB=100°，先根据邻补角的定义得出与∠EAB相邻的外角∠5=80°，再根据多边形的外角和定理即可求∠1+∠2+∠3+∠4=360﹣80°=280°．考点：多边形内角与外角例3．一个凸多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形是边形．【答案】6．【解析】试题分析：：设多边形边数为n，根据多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式可得360°×2=（n﹣2）•180°，解得n=6．所以则这个多边形是6边形．考点：多边形的外角定理；多边形的内角和公式．例4．如图，小亮从A点出发前进5m，向右转15°，再前进5m，又向右转15°……，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了______________m．【答案】120【解析】试题分析：360°÷15°=24，24×5=120m．考点：多边形的外角例5．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数．【答案】10【解析】试题分析：设这个多边形有n条边，根据内角和是它的外角和的4倍，列方程，然后解方程即可．试题解析：设这个多边形有n条边．由题意得：（n﹣2）×180°=360°×4，解得n=10．故这个多边形的边数是10．考点：多边形的内角和外角和．。