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物流系统规划与设计3-选址模型
2012年6月28日星期四
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4、选址问题中的距离计算
选址问题模型中,最基本的一个参数是各个节
点之间的距离。 一般采用两种方法来计算节点之间的距离:一 种是直线距离,也叫欧几里得距离(Euclidean Metric);另一种是折线距离(Rectilinear Metric),也叫城市距离(Metropolitan Metric)。
min Z
n i 1
wi xi x s yi y s
2
2 1/ 2
这是一个双变量系统,分别对xs和ys进行求偏微分,并且 令其为零,这样就可以得到两个微分等式。应用这两个等 式分别对xs和ys进行求解,即可以求出下面的一对隐含有 最优解的等式:
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其相应的目标函数为:
Z
w x
i i 1
n
i
xs yi ys
式中:
——与第i个点对应的权重(例如需求); wi x i ,y i ——第i个需求点的坐标; x s ,y s ——服务设施点的坐标;
n
——需求点的总数目。
在这个问题里面,最优位置也就是由如下坐标组成的点: x s 是在x方向的对所有的权重的中值点; y s 是在y方向的对所有的权重的中值点。 考虑到 x s ,y s 两者可能同时是惟一值或某一范围,最优的 位置也相应的可能是一个点,或者是线,或者是一个区域。
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例子:报刊亭选址 一个报刊连锁公司想在一个地区开设一个新的报刊零售点, 主要的服务对象是附近的5个住宿小区的居民,他们是新 开设报刊零售点的主要顾客源。下图笛卡儿坐标系中确切 地表达了这些需求点的位置,下表是各个需求点对应的权 重。这里,权重代表每个月潜在的顾客需求总量,基本可 以用每个小区中的总的居民数量来近似。经理希望通过这 些信息来确定一个合适的报刊零售点的位置,要求每个月 顾客到报刊零售点所行走的距离总和为最小。 解: 由于考虑的问题是在一个城市中的选址问题,评价是,使 用城市距离是合适的,交叉中值选址方法将会用来解决这 个问题。
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xs
n
wi xi d is wi d is
ys
n
wi yi d is wi d is
2 1/ 2
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
上式中, d is
x
i
xs yi y s
2
该微分议程组不能直接求解,可以通过迭代的方法进行求解, 这需要提供一组初始值xs0和ys0 。然后利用xs(i-1)和ys(i-1)求出 dis(i-1),再用它去求出xsi和ysi ,迭代公式如下:
xs0
n
wi xi
i 1 n
ys0
n
wi yi
x si
n
wi xi d is ( i 1 ) wi d is ( i 1 )
2
y si
n
wi yi d is ( i 1 ) wi d is ( i 1 )
2 1/ 2
i 1 n
i 1 n
w
i 1
i 1 n
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1、覆盖模型 所谓覆盖模型,就是对于需求已知的一些需求点,如何确定 一组服务设施来满足这些需求点的需求。在这个模型中,需 要确定服务设施的最小数量和合适的位置。 该模型适用于商业物流系统,如零售点的选址问题、加油站 的选址、配送中心的选址等,公用事业系统,如急救中心、 消防中心等,以及计算机与通信系统,如有线电视网的基站、 无线通信网络基站、计算机网络中的集线器设置等。 根据解决问题的方法的不同,可以分为两种不同的主要模型: (1)集合覆盖模型,用最小数量的设施去覆盖所有的需求 点。 (2)最大覆盖模型,在给定数量的设施下,覆盖尽可能多 的需求点。 两类模型的区别:集合覆盖模型要满足所有的需求点,而最 大覆盖模型则只覆盖有限的需求点,两种模型的应用情况取 决于服务设施的资源充足与否。
i
w
i 1
i
i 1
i 1
上式中, d is ( i 1 )
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x
i
x s ( i 1 ) y i y s ( i 1 )
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如果该迭代过程具有收敛性,那么经过无限次的迭代之后, 可以得到一个最优解xs*和ys *。但是在实际中,可以迭代的 次数是有限的,所以在迭代过程中需要确定一个中止准则。 设置中止准则有两个方法:(1)根据经验和以前的试验结 果,直接设置一个确定的迭代次数N;(2)将每一次得到的 迭代结果xsi和ysi 跟前面一次的迭代结果xs(i-1)和ys(i-1) 比较, x s lim it y s lim it 当两次的迭代结果变化小于某一个阈值 、 时,迭 代过程结束。
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(1)集合覆盖模型 集合覆盖模型的目标是用尽可能少的设施去覆盖所有的需求 点,相应的目标函数可以表达为:
min
xj
约束条件为:
j B ( i )
j N
——最小化设施的数目
y ij 1,i N
——保证每个需求点的需求得到完全的满足
i
i A (
d
离散点选址指的是在有限的候选位置里面,选取最为合适 的一个或者一组位置为最优方案,相应的模型就叫做离散 点选址模型。它与连续点选址模型的区别在于:它所拥有 的候选方案只有有限个元素,我们考虑问题的时候,只需 要在这几个有限的位置进行分析。 对于离散点选址问题。目前主要有两种模型可供选择,分 别是覆盖模型(Covering)和P—中值模型。其中覆盖模 型常用的有集合覆盖模型(Set Covering Location Problem)和最大覆盖模型(Maximum Covering Location)。
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然后根据前面的公式,即可得到迭代结果:
x si 1 . 5 15 . 65 12 4 . 25 2 . 13 0 . 5 3 . 13 3 2 . 13 2 . 13
0 . 5 6 . 25 9 8 . 5 10 . 63 0 . 5 3 . 13 3 2 . 13 2 . 13
3 . 26
y si
3 . 20
然后进行中止准则的判断,确定是否继续进行迭代。
注意:用精确重心法得到的最优解只有一个点,而不会是一 条线段或者一个区域。而且只有在十分偶然的情况下,才会 出现用交叉中值法和精确重心法得到的最优优地址一致的情 况。
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三、离散点选址模型
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(2)选址目标区域的特征
根据选址目标区域的特征:连续选址、网格选址、离
散选址。
(3)选址成本
可行性与最优性 Minisum/Minimax目标函数 固定权重与可变权重 被定位设施间有无相互联系
确定性与随机性
静态与动态
(4)选址约束
有/无能力约束 不可行区域约束
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1、选址的意义 2、选址决策的影响因素
外部因素 宏观政治、经济因素 基础设施及环境 竞争对手 内部因素
3、选址模型的分类 (1)被定位设施的维数及数量
根据被定位设施的维数:体选址、面选址、线选址、
点选址; 根据选址设施的数量:单一设施选址、多设施选址;
j)
y ij C j x j , j N
——是对每个提供服务的服务网点的服务能力的限制
x j 0 ,1, i N
——保证一个地方最多只能投建一个设施
y ij 0 , i , j N
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——允许一个设施只提供部分的需求
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对于此类带有约束条件的极值问题,有两大类方法可以进行 分解:一是精确的算法,应用分枝定界求解的方法,能够找 到小规模问题的最优解,由于运算量方面的限制,一般也只 适用于小规模问题的求解;二是启发式方法,所得到的结果 不能保证是最优解,但是可以保证是可行解,可以对大型问 题进行有效的分析、求解。
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2、精确重心法(Exact Gravity) 前面介绍的交叉中值模型由于其本身的局限性,例如使用 的是城市距离,只适合于解决一些小范围的城市内的选址 问题。精确重心法在评价的过程中使用的是欧几米德距离, 即直线距离,它使选址问题变得复杂,但是有着更为广阔 的应用范围。 在使用了欧几米德距离之后,目标函数变成了:
dZ ds
w
i 1
s
i
w
i s
n
i
0
dZ dss源自x0w x dx
L
xs
w x dx 0
计算结果表明:所开设的新店面需要设置在权重的中点,即两边的 权重相等。
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连续点选址问题指的是在一条路径或者一个区域 里面的任何位置都可以作为选址的一个选择。 1、交叉中值模型(Cross Median) 交叉中值模型是用来解决连续点选址问题的一种 十分有效的模型,它是利用城市距离进行计算, 通过交叉中值的方法可以对单一的选址问题在一 个平面上的加权的城市距离进行最小化。