第一章 力学引论本章主要阐述了力学的研究内容（即物体的机械运动），以及矢量分析和量纲分析的方法。

习 题1-1 什么叫质点？太阳、地球是质点吗？分子、原子是质点吗？试举例说明。

分析：本题说明参考系选择的重要性。

对于相同的物体，如果参考系的选择不同，结果将完全不同。

选择某一参考系，可以看成质点；选择另一参考系，就不可以看成质点。

答：在某些问题中，物体的形状和大小并不重要，可以忽略，可看成一个只有质量、没有大小和形状的理想的点，这样的物体就称为质点。

关于太阳、地球、分子、原子是否是质点，要视具体研究的问题而定。

例如，如果我们考察银河系或者整个宇宙的运动，那么太阳和地球的大小可以忽略，而且我们没有必要去考察他们的转动，此时它们可以被看作质点。

但是，如果我们要研究人造卫星、空间站的话，太阳和地球的大小和形状以及其自转就不能被忽略，那么它们就不能被看作质点。

1-2 西部民歌：“阿拉木汗住在哪里，吐鲁番西三百六。

”从位矢定义分析之。

分析：本题是关于参考系和坐标系选择的问题。

遇到一个问题，首先要搞清楚研究对象，然后选择一个合适的参考系，在此参考系中选择一个点作为坐标原点，建立坐标系，然后才可以定量的分析问题。

本题中心意思是选择则吐鲁番作为参照点，来定义阿拉木汗所住的位置。

答：选择地面参照系，以吐鲁番作为原点，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正向，在地面上建立直角坐标系。

那么阿拉木汗住址的位矢为：i ˆ360r −=v1-3 判断下列矢量表达式的正误：分析：本题考察矢量的运算问题。

矢量既有大小，又有方向，所以在进行矢量运算时，既要考虑矢量的大小，又要考虑矢量的方向。

（1）B A B A v v v v +=+答：× 矢量按平行四边形法则相加，而不是简单的数量相加（2）A B B A v v v v ×=×答：× 矢量相乘按右手定则，上式方程两边的矢量大小相同，方向相反。

（3）2A A A =⋅vv答：√ 两个矢量点成是标量，所以上式成立。

（4）0=×A A v v答：× 方程左边是矢量，而方程右边是标量，因此等号不能成立。

如果右边是矢量0（0v），则等式成立。

1-4 用量纲分析说明下列各式中力学量的量纲，如采用国际单位制，给出各量的单位：分析：本题是关于量纲与国际单位制的问题。

通过本题，使学生熟悉等式中量纲的一致性及不同单位之间的换算。

(1) 221at vt s += 解：s : 量纲： L ； 单位：m （长度） v : 量纲： L/T ； 单位：m/s （速度） t ：量纲：T ； 单位：s （时间） vt : 量纲： L ； 单位：m （距离） a : 量纲： L/T 2； 单位：m/s 2 （加速度） at 2 : 量纲： L ； 单位：m （距离）长度（s ）=距离（vt ）+距离（221at ）(2) 20021112121v p v gh p ρρρ+=++ 解： p : 量纲： M/LT 2； 单位：kg/(m·s 2) （压强）ρ : 量纲： M/L 3； 单位：kg/m 3 （体密度）g : 量纲： L/T 2； 单位：m/s 2 （重力加速度） h : 量纲： L ； 单位：m （长度）ρgh : 量纲： M/LT 2； 单位：kg/(m·s 2 ) （压强）v : 量纲： L/T ； 单位：m/s （速度）ρv 2 : 量纲： M/LT 2； 单位：kg/(m·s 2) （动能密度）等式两端量纲相同，均为M/LT 2，单位均为kg/(m·s 2)(3) 220202121)(21mv mv x x k −=−解： x : 量纲： L ； 单位：m （长度）k : 量纲： M/T 2； 单位： kg/s 2 （弹性系数） 20)(x x k −: 量纲： M L 2/T 2； 单位： kg·m 2/s 2v : 量纲： L/T ； 单位：m/s （速度） mv 2 : 量纲： ML 2/T 2； 单位：kg·m 2/s 2 等式左右均为能量量纲，ML 2/T 2(4)∫−=tt t P t P dt F 0)()(0v v v解：F: 量纲： M L/T 2； 单位：kg·m/s 2 （力）t : 量纲： T ； 单位：s （时间）dt F v: 量纲： ML/T ； 单位：kg·m/s （冲量） p : 量纲： ML/T ； 单位：kg·m/s （动量） 等式左边为冲量，有变为动量的变化量，具有相同的量纲和单位。

1-5 在热学中，宏观气体系统可描述为大量微观粒子组成的，试说明“大量”的数量级是多少？分析：本题通过估算，半定量的将宏观系统与微观粒子数项练习起来。

给大家一个宏观系统中包含微观粒子数的量级的概念。

答：假设单位摩尔宏观气体的尺度约为10-1m 的量级，体积为10-3m 3量级。

一个微观气体分子约为10-9m 的量级，每一个微观气体分子所占的体积为10-27m 3量级。

那么在每单位摩尔体积内，包含的气体分子数约为10-3m 3/10-27m 3=1025个。

也就是说，在热学中，宏观气体系统描述的大量微观粒子，其中的“大量”的数量级约为1025。

第二章 质点力学本章以单个质点作为研究对象，研究其运动情况，包括质点运动学和质点动力学两部分。

质点运动学部分介绍了质点运动的矢量描述和坐标描述，以及运动描述的相对性。

质点动力学部分介绍了牛顿运动定律，以及在实际中如何运用牛顿运动定律去解题。

另外，本章还介绍了非惯性参照系。

习 题2-1 一质点沿一抛物线y=x 2 运动，在任意时刻v x =3m/s ，试求在x=2/3m 处这质点的速度和加速度的大小和方向。

分析：已知运动轨迹，求轨迹上某点的速度。

利用速度及加速度的微分定义即可求得。

解: 0.3=x v x x xv dt dyy v 62===∴ j x i v ˆ6ˆ3+=v ∴ j i x v ˆ4ˆ33/2+==v52423=+=v v°===538.0arcsin arcsinvy v α速度大小为5m/s 2，方向与X 轴正方向成°53角。

Q 0=x a 186===x v dt ydv y a ∴ j a ˆ18=v加速度大小为18m/s 2，方向沿Y 轴正方向。

2-2 一物体沿X 轴运动，其加速度可以表示为a x =4x-2 (m/s 2)。

已知x 0=0,v 0=10 m/s ，试求在任意位置x 处的速度.分析：已知加速度，求物体运动的速度。

利用加速度的微分定义，经移项、积分即可求得。

解: 因为 v dx dvdt dx dx dv x dtdv a ==−==24即 vdv dx x =−)24( 或∫∫=−vv x x vdv dx x 0)24(10 ,0 00==v x Q代入得： 1004422+−=x x v2-3 一物体做直线运动，初速度为零，初始加速度为a 0，出发后每经过时间间隔 τ ，加速度均匀增加 a 0 ，求经过 t 秒后物体的速度和距出发点的距离。

分析：已知直线运动中的加速度，求物体运动的速度及位移。

利用积分定义，即可求得。

解: 物体运动加速度： t a a a τ0+=t 秒后物体运动的速度为：200021t a t a adt v tτ−==∫ t 秒后距出发点的距离：302006121t a t a vdt x tτ−==∫2-4 如图所示，跨过滑轮C 的绳子，一端挂有重物B 。

另一端A 被人拉着沿水平方向匀速运动，其速率ν0=1.0 m/s ，A 点离地面的距离保持着 h=1.5 m 。

运动开始时，重物在地面上的B 0处，绳两侧都呈竖直伸长状态，且滑轮离地面 H=10 m ，滑轮半径不计，求 (1) 重物上升的运动方程；(2) 到达滑轮前的任意t 时刻的速度和加速度以及到达滑轮处所需要的时间.分析：本题需要搞清楚两个距离：1.人运动的距离，即人的位移：t v 0 。

2.物体上升的距离，即物体的位移（物体的位移=绳长-）。

以及这两个位移之间的关系（三角形关系）。

速度及加速度可用微分定义求得。

解: 以B 0为原点，竖直向上方向为 x 轴，建立坐标系。

由几何关系，得2)0(2)(2t v h H l +−=将已知条件H ，h ，v 0 代入上式，得225.8t l +=根据已知条件，CA 的初始位置在铅直方向。

（1）运动方程：5.8225.8)(−+=−−=t h H l x（2）速度：225.8t tdtdx v +==加速度：23)25.82(22/125.821+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+==t t t dt dv a 105.8225.8=−+=t H所需时间：)(4.16s t ±= （负值舍去）2-5 在距河岸5.0千米处有一灯塔，它发出的光束每分钟转动一周。

求：当光束扫至与岸边成600角时，光束(光点)沿岸边滑动的速度和加速度。

分析：本题是速度分解的问题，但是需要特别注意的是所求的速度和加速度并不是光束转速的切向或法向分量，而是切向分量与法向分量在沿岸方向的和。

解法一：由图可得 t L X ωtan ±=t L t L dt dX v ωωωω2cos 2sec ±=±==当o 60=α时，o t 30=ω，30602ππω==(m/s) 698302cos 303105±=⋅×±=ov π)2(m/s 4.84603cos sin 22±==±==ot t L Xa αωωω&&解法二：本题的另一种解法是首先求出光点在沿岸边方向上的位移，根据速度和加速度的微分定义，求出速度和加速度。

用极坐标θωθθθθˆˆˆˆˆˆr r r r r r v r r v v +=+=+=&&&v 即 θωv t v =cos0)2(0)2(2cos / ,cos ,cos /θθθθωωωωωr &&&&r &&&rr r r r a th v h t r t r v ++−====∴而,0,222tan 2 ,tan ==+==θωθωωωωωω&&&&&&Q t tg r t r r t r r vv r tth a r a ar at r r a ≠==+====∴θωωωωθθωω:2cossin2222220,2tan 22注意&&2-6 如图所示，绕过小滑轮A 和B 的绳两端各挂重物m1和m2，绳上的C 点起始位置与D 点重合，若将此点以匀速率v0沿垂线DC 向下拉，求t 时刻两重物的速率。