第十七章 量子物理基础17–1 用辐射高温计测得炉壁小孔的辐射出射度为22.8W/cm 2，则炉内的温度为 。

解：将炉壁小孔看成黑体，由斯特藩—玻耳兹曼定律()4T T M B σ=得炉内的温度为3484410416.11067.5108.22)(⨯=⨯⨯==-σT M T B K17–2 人体的温度以36.5︒C 计算，如把人体看作黑体，人体辐射峰值所对应的波长为 。

解：由维恩位移定律b T =m λ得人体辐射峰值所对应的波长为33m 10363.95.30910898.2⨯=⨯==-Tb λnm 17–3 已知某金属的逸出功为A ，用频率为1ν的光照射该金属刚能产生光电效应，则该金属的红限频率0ν= ，遏止电势差Uc = 。

解：由爱因斯坦光电效应方程W m h +=2m 21v ν，A W =，当频率为1ν刚能产生光电效应，则0212m =v m 。

故红限频率 h A /0=ν遏止电势差为()01011ννννν-=-=-=eh e h e h e W e h U c 17–4 氢原子由定态l 跃迁到定态k 可发射一个光子，已知定态l 的电离能为0.85eV ，又已知从基态使氢原子激发到定态k 所需能量为10.2eV ，则在上述跃迁中氢原子所发射的光子的能量为 eV 。

解：氢原子的基态能量为6.130-=E eV ，而从基态使氢原子激发到定态k 所需能量为E ∆=10.2eV ，故定态k 的能量为eV 4.32.106.130-=+-=∆+=E E E k又已知eV 85.0-=l E ，所以从定态l 跃迁到定态k 所发射的光子的能量为eV 55.2=-=k l E E E17–5 一个黑体在温度为T 1时辐射出射度为10mW/cm 2，同一黑体，当它的温度变为2T1时，其辐射出射度为[ ]。

A ．10mW/cm 2B ．20mW/cm 2C ．40mW/cm 2D ．80mW/cm 2E ．160mW/cm 2解：由斯特藩—玻耳兹曼定律，黑体的总辐射能力和它的绝对温度的四次方成正比，即()4T T M B σ=故应选（E ）。

17–6 量子力学中的波函数模的平方表示[ ]。

A ．粒子出现的概率B ．粒子出现的概率密度C ．粒子在空间的位置坐标D ．粒子在空间的动量密度解：量子力学中的波函数模的平方*2||ψψψ=表示的是粒子在空间出现的概率密度，而粒子在V d 出现的概率为V d ||2ψ。

因此应选（B ）。

17–7 一个处于4f 态的电子，它的轨道角动量的大小为[ ]。

A ． 2B ． 3C ． 6D ． 32E ． 54解：电子处于4f 态，4表示其所处能级，f 代表其角动量量子数为3。

所以角动量为)13(3)1(+=+=l l L 32=故应选（D ）。

17–8 如果一个电子被限制在原子核的尺度范围内，它的动量的不确定度最接近的值是[ ]。

A ．200 eV/cB ．200 KeV/cC ．200 MeV/cD ．200GeV/c解：由测不准关系2≥∆⋅∆p x 近似取 =∆⋅∆p x ，原子核的尺度为1510~-x ∆m ，动量不确定度为M eV/c 219eV/c 106.110310054.11010054.1198191534=⨯⨯⨯⨯=⨯=∆=∆----x p 。

选（C ）。

17–9 已知一粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为)(,2π3cos 1)(a x a a x a x ≤≤-=ψ 那么粒子在a x 65=处出现的概率密度为[ ]。

A ．a 21 B ．a 21 C ．a 1 D ．a1 解：粒子在一维矩形无限深势阱中任意点的概率密度为ax a x x 2π3cos 1)*()(2=ψψ 在a x 65=处出现的概率密度为 a a a a x x a x 21652π3cos 1*)()(265=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==ψψ 故答案应选（A ）。

17–10 当用钠光灯发现的波长为589.3nm 的黄光照射某一光电池时，需要0.300V 的负电势差才能遏止所有向阳极运动的光电子。

如果用波长为400nm 的光照射这个光电池，截止电压多大？板极材料的逸出功多大？解（1）求对应于2λ的截止电压U 2。

根据爱因斯坦光效方程和光电子的最大初动能与截止电压的关系，得，W eU W m h +=+=121121v ν W eU W m h +=+=222221v ν 两式相减得 )(2121U U e h h -=-νν即)(112121U U e hc -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλ由此导出⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=211211λλe hc U U 将已知数和常量代入，得V 3.12=U（2）求极板材料的逸出功。

由W m h +=21121v ν 得1.80eV J 1089.21911=⨯=-=-eU hc A λ17–11 试计算氢原子中巴耳末系的最短波长和最长波长各是多少？解：根据巴耳末系的波长公式，其最长波长应是n=3→n=2跃迁的光子，即)3121(10097.1)3121(122722max -⨯=-=R λnm 3.656m 1056.67max =⨯=-λ最短波长应是n=∞→n=2跃迁的光子，即4/10097.121172min ⨯==Rλ nm 4.346min =λ17–12 原则上讲，玻尔理论也适用于太阳系：太阳相当于核，行星相当于电子，而万有引力相当于库仑力。

其角动量是量子化的，即 n L =，而且其运动服从经典理论。

（1）求出行星绕太阳运动的允许半径的公式；（2）太阳的质量为 2.0×1030kg ，地球的质量为5.98×1024kg ，地球运行半径实际上是1.50×1011m ，和此半径对应的量子数n 多大?（3）地球实际的轨道和它的下一个较大的可能轨道的半径差值多大?解：（1）设行星的质量为m ，太阳的质量为M ，行星绕太阳运动的半径为R ，并将其视为绕太阳的圆周运动，则行星绕太阳运动的角动量为RGmM mR mR L ==v 故有n RGmM mR = 所以行星绕太阳运动的允许半径为 M Gm n R 222 =， ,3,2,1=n （1）（2）由（1）式得和地球半径对应的量子数n 为11301134241050.1100.21067.61005.11098.5⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==--GMR m n =2.54×1074（3）由（1）式得地球实际的轨道和它的下一个较大的可能轨道的半径差值为n M Gm n R ∆=∆222 633048211682741017.1100.21098.51067.61005.11054.22---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=17–13 一个调频广播电台的播出频率为98.1MHz ，天线的辐射功率为4100.5⨯W ，求天线每秒钟辐射的光子数。

解：设天线每秒钟辐射的光子数为n ，由νnh E =得天线每秒钟辐射的光子数为s /107.7101.981063.6100.5296344⨯=⨯⨯⨯⨯==-νh E n 17–14 计算动能为300eV 的电子的德布罗意波长。

解: 已知常数s J 10626.634⋅⨯=-h ，kg 1011.931-⨯=m ，J 10602.1eV 119-⨯=。

由mP E k 22=，k mE P 2= 因此k mE h P h 2==λnm 08.710602.13001011.9210626.6193134=⨯⨯⨯⨯⨯⨯---17–15 求波长为450nm 的单色光子的能量和动量。

解：光子的能量为eV 76.2J 1042.410450100.31063.6199834=⨯=⨯⨯⨯⨯===---λνεhc h 光子的动量为 s /m kg 1047.1104501063.627934⋅⨯=⨯⨯==---λhp17–16 质量为0.01kg 的子弹和质量为kg 1011.931-⨯，运动速度都为1000m/s ，若速度的不确定程度为其运动速度的1%，求它们位置的不确定程度；它们能否用经典力学处理？解：子弹位置的不确定度为：m 1063.6%1100001.01063.633341--⨯=⨯⨯⨯=∆=∆v m h x 可以认为位置和动量能同时确定，所以可以用经典力学处理。

电子位置的不确定程度为：m 103.7%110001011.91063.65313422---⨯=⨯⨯⨯⨯=∆=∆v m h x 远远超过在原子和分子中的电子离原子核的距离，不能用经典力学处理。

17–17 求下列波函数归一化常数和概率密度。

⎪⎩⎪⎨⎧<<≥≤=-)0(,πsin ,0(,0)(i a x x a Ae a x x x Et ）ψ 解：利用归一化条件可得⎰∞∞-x x d |)(|2ψ⎰=a x a x A 022d πsin 122==a A 所以归一化常数A 为 aA 2= 概率密度为2||)(ψρ=x ⎪⎩⎪⎨⎧<<≥≤=)0( , πsin 2),0( , 02a x a x a a x x 17–18 有一微观粒子，沿x 方向运动，其波函数为+∞<<-∞+=x xA x (,i 1)(ψ，A 为正常数) （1）将此波函数归一化；（2）求粒子的概率密度函数；（3）求找到粒子概率最大的位置。

解：（1）1πarctan d 1d |)(|22222===+=∞∞-∞∞-∞∞-⎰⎰A x Ax x A x x ψ 所以归一化常数 π1=A 归一化后的波函数为)(,i 11π1)(+∞<<-∞+=x xx ψ （2）求粒子的几率密度函数 )1(π1||)(22x x +==ψρ（3）对几率密度函数求导，并令其为零，即0)1(π2d )(d 22=+-=x x x x ρ 可得0=x 时概率密度最大，即找到粒子概率最大位置。

17–19 一质量为M 、能量为E 的粒子在一维势场V (x )中波函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2exp )(22x b A x ψ，波函数中A 和b 为实常量。

如果当x = 0时，势场0)(=x V 。

计算粒子的能量E 和势场V (x)。

解：由一维薛定谔方程ψψ)(d d 2222V E x M -=- （1） 将题给波函数代入，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2exp )(2exp )1(222222222x b V E x b x b b M （2） 由于x = 0时，势场0)(=x V ，代入上式得M b E 222 =（3） 将（3）式代回（2）式，得M x b x V 2)(242 =。