1. 证明:()B A A B -=的充要条件就是A B ⊂、证明:若()B A A B -=,则()A B A A B ⊂-⊂,故A B ⊂成立、反之,若A B ⊂,则()()B A A B A B B -⊂-⊂,又x B ∀∈,若x A ∈,则()x B A A ∈-,若x A ∉,则()x B A B A A ∈-⊂-、总有()x B A A ∈-、故()B B A A ⊂-,从而有()B A A B -=。

证毕2. 证明c A B AB -=、证明:x A B ∀∈-,从而,x A x B ∈∉,故,cx A x B ∈∈,从而x A B ∀∈-, 所以cA B A B -⊂、另一方面,c x A B ∀∈,必有,c x A x B ∈∈,故,x A x B ∈∉,从而x A B ∈-,所以 c AB A B ⊂-、综合上两个包含式得cA B AB -=、 证毕3. 证明定理4中的(3)(4),定理6(De Morgan 公式)中的第二式与定理9、 证明:定理4中的(3):若A B λλ⊂(λ∈∧),则A B λλλλ∈∧∈∧⊂、证:若x A λλ∈∧∈,则对任意的λ∈∧,有x A λ∈,所以A B λλ⊂(∀λ∈∧)成立知x A B λλ∈⊂,故x B λλ∈∧∈,这说明A B λλλλ∈∧∈∧⊂、定理4中的(4):()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧=、 证:若()x A B λλλ∈∧∈,则有'λ∈∧,使 ''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧∈⊂、反过来,若()()x A B λλλλ∈∧∈∧∈则x A λλ∈∧∈或者x B λλ∈∧∈、不妨设x A λλ∈∧∈,则有'λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧∈⊂⊂、故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧⊂、综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧=、定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧∈∧=、证:()c x A λλ∈∧∀∈,则x A λλ∈∧∉,故存在'λ∈∧ ,'x A λ∉所以'c c x A A λλλ∈∧∉⊂从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧⊂、反过来,若c x A λλ∈∧∈,则'λ∃∈∧使'c x A λ∉,故'x A λ∉,x A λλ∈∧∴∉,从而()c x A λλ∈∧∈()c c A A λλλλ∈∧∈∧∴⊃、 证毕定理9:若集合序列12,,,,n A A A 单调上升,即1n n A A +⊂(相应地1n n A A +⊃)对一切n 都成立,则 1lim n n n A ∞→∞==(相应地)1lim n n n A ∞→∞==、证明:若1n n A A +⊂对n N ∀∈成立,则i m i mA A ∞==、故从定理8知11liminf n i m n m i mm A A A ∞∞∞→∞=====另一方面,m n ∀,令m i i mS A ∞==,从1m m A A +⊂对m N ∀∈成立知11111()()m i mi m i i m i mi m i m i m S A A A A A A S ∞∞∞∞++==+=+=+==⊂==、故定理8表明1111limsup liminf n i m m n n n m i mm m A A S S A A ∞∞∞∞→∞→∞=========故1lim limsup liminf n n n m n n n m A A A A ∞→∞→∞→∞====、4、 证明()()A B B A B B -=-的充要条件就是B =∅、证:充分性若B =∅,则()()A B B A A A A A -=-∅∅=-∅==∅=∅-∅必要性 若()()A B B A B B -=-,而B ≠∅则存在x B ∈、所以()()x A B B A B B ∈-=-即所以,x A B x B ∈∉这与x B ∈矛盾,所以x B ∈、 4. 设{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,求()F A 、又如果1;1,2,3,,S n n⎧⎫==⎨⎬⎩⎭01;A n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为奇数,{}1111,,,,321A i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭,问()()01,F A F A 就是什么、解:若{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,则(){}{}{}{},1,2,3,4,1,2,3,4F A =∅、若011111;1,2,3,,;1,,,,3521S n A n n i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭为奇数, 则从1111111,,,,,,,3521242ci i ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭, 易知()111111,,1,,,,,,,,3521242F A S i i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=∅⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭、 {}1111,,,,321A i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭、 令11;1,2,,;1,2,212B i C i i i⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭、 {}{}{}1,F A S AK A B K C K A =∅==∅为的子集，或、证明: 因为{}111,,,,,321A B i ⎧⎫⎧⎫∈⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭的任何子集()1F A 、所以有()1B F A ∈,而cB C =,故()1C F A ∈,又()1F A ∅∈、 任取B 的一子集A ,()1A A F A ∅=∈,且()1AC F A ∈、显S A ∈,故只用证A 的确就是一个σ-域、(1) ,c cS S A ∅==∅∈,且B ∀的子集A ,若K =∅,则,c KA A A C ∅==(B A -就是B 的子集,故()()ccA A C F A ∅=∈)又B ∀的子集A ,()ccc cAC A C A B ==、 显然就是B 的子集,所以()()ccAC A B A =∅∈、又若n A 为B 的子集()1,2,3,,n n K C ==或∅、 则()111nn n n n n n A K A K A K ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、这里1n n A A B ∞==⊂就是B 的子集、1n n K K C ∞===或∅、所以()1n n n A K A ∞=∈、若n A 中除B 的子集外,还有S ,则()1n n n A K S A ∞==∈、若n A 中有∅,不影响1n n A B ∞=⊂、故A 就是σ-域,且()1F A A =、 证毕、6、对于S 的子集A ,定义A 的示性函数为()10A x Ax x A ϕ∈⎧=⎨∉⎩证明:(1)()()liminf liminf n n A A x x ϕϕ= (2)()()limsup limsup n n A A x x ϕϕ=证明:x S ∀∈,若()liminf n A x x ϕ∈则()liminf 1n A x ϕ=。

且只有有限个n ,使得n x A ∉ 所以∃ 00n > 使得 0n n ≥时 n x A ∈ 从而有()1nA x ϕ=故()()liminf liminf 1n n A A x x ϕϕ== 若()liminf n A x x ϕ∉, 则()liminf 0nA x ϕ=且有无限个().1,2,3,4k n N k ∈=故()lim 0k A k x ϕ→∞=所以 ()()liminf liminf 0n n A A x x ϕϕ==、 故(1)成立、(2)的证明: x S ∀∈,若()limsup n A x x ϕ∈ 则()liminf 1n A x ϕ=、且有无穷个 ().1,2,3,4k n N k ∈=使得knx A ∈ ,1n kA ϕ=所以 ()lim 1k A k x ϕ→∞= 注意到()01k A x ϕ≤≤所以 ()()limsup limsup 1n n A A x x ϕϕ==、 若()limsup n A x x ϕ∉,则()limsup 0nA x ϕ=且只有有限个n 使得n x A ∈所以 ∃ 00n > 使得 0n n ≥时n x A ∉ ,()0n A x ϕ= 所以 ()()limsup limsup 0n n A A x x ϕϕ==、 所以(2)也成立、也可以这样证(2):注意nA R ∀⊂()()1cA A x x ϕϕ=-、()()()()()()()()()()()()limsup limsup liminf liminf 11liminf 1limsup limsup 1limsup cc nn ccc n n cn c nc n nA A A A A A A A x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕ===-=-=+-=-=、7、设f(x)就是定义于E 上的实函数,a 为一常数,证明 (1)()()11;;n E x f x a E x f x a n ∞=⎡⎤>=≥+⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ (2)()()11;;n E x f x a E x f x a n ∞=⎡⎤≥=>-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦、 证明:(1)()0;x E x f x a ∀∈>⎡⎤⎣⎦ 我们有()0f x a >,故存在n N ∈ 使()01f x a n ≥+(因为()01,n f x a n∃≤-使)所以()011;n x E x f x a n ∞=⎡⎤∈≥+⎢⎥⎣⎦、 从而有()()11;;n E x f x a E x f x a n ∞=⎡⎤>⊂≥+⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦; 反过来: 若()011;n x E x f x a n ∞=⎡⎤∈≥+⎢⎥⎣⎦,则 ()()()()0000111,,;1;;n n n f x a a n x E x f x a E x f x a E x f x a n ∞=∃≥∃≥+>∴∈>⎡⎤⎣⎦⎡⎤∴≥+⊂>⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦使所以(1)成立、下证(2) ()0;x E x f x a ∀∈≥⎡⎤⎣⎦ 我们有()()()()()000111;1;n f x a a n N nx E x f x a n N n x E x f x a n ∞=≥>-∀∈⎡⎤∈>-∀∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤∈>-⎢⎥⎣⎦所以故从而有()()11;;n E x f x a E x f x a n ∞=⎡⎤≥⊂>-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 反过来,若()011;n x E x f x a n ∞=⎡⎤∈>-⎢⎥⎣⎦8、若实函数序列(){}n f x 在E 上收敛于()f x ,则对于任意常数a 都有()()()1111;liminf ;liminf ;k k E x f x a E x f x a E x f x a k k ∞∞==⎡⎤⎡⎤≤=≤+=<+⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦证明:先证第一个等式 由定理8知()()()()111111liminf ;;11liminf ;;n i m i m n i k k m i m E x f x a E x f x a k k E x f x a E x f x a k k ∞∞==∞∞∞∞====⎡⎤⎡⎤≤+=≤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤≤+=≤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以()0;x E x f x a ∀∈≤⎡⎤⎣⎦ 我们有()01f x a a k≤≤+对k N ∀∈成立。