课时作业69 二项分布与正态分布一、选择题1．打靶时甲每打10次,可中靶8次；乙每打10次,可中靶7次．若两人同时射击一个目标,则它们都中靶的概率是( D )A.35B.34C.1225D.1425解析：由题意知甲中靶的概率为45,乙中靶的概率为710,两人打靶相互独立,同时中靶的概率P ＝45×710＝1425.2．两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B )A.12B.512C.14D.16解析：恰有一个一等品即一个是一等品,另一个不是一等品,则情形为两种,所以P ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512. 3．(广东珠海一模)夏秋两季,生活在长江口外浅海域的中华鲟洄游到长江,历经三千多公里的溯流搏击,回到金沙江一带产卵繁殖,产后待幼鱼长大到15厘米左右,又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鲟鱼苗,该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05,若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟,则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( C )A ．0.05B ．0.007 5 C.13D.16 解析：设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟,事件B 为雌性个体成功溯流产卵繁殖,由题意可知P (A )＝0.15,P (AB )＝0.05,∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.050.15＝13.故选C. 4．甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N (μ1,σ21),N (μ2,σ22),其正态分布密度曲线如图所示,则下列说法错误的是( D )A ．甲类水果的平均质量为0.4 kgB ．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99解析：由图象可知甲的正态曲线关于直线x ＝0.4对称,乙的正态曲线关于直线x ＝0.8对称,所以μ1＝0.4,μ2＝0.8,故A 正确,C 正确．由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右,故B 正确．因为乙的正态曲线的最大值为1.99,即12πσ2＝1.99,所以σ2≠1.99,故D 错误,于是选D.5．若同时抛掷两枚骰子,当至少有5点或6点出现时,就说这次试验成功,则在3次试验中至少有1次成功的概率是( C )A.125729B.80243C.665729D.100243解析：一次试验中,至少有5点或6点出现的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝1－49＝59,设X 为3次试验中成功的次数,则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，59,故所求概率P (X ≥1)＝1－P (X＝0)＝1－C 03×⎝⎛⎭⎪⎫590×⎝ ⎛⎭⎪⎫493＝665729,故选C. 6．为向国际化大都市目标迈进,某市今年新建三大类重点工程,它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设,则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D )A.12B.13C.14D.16解析：记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i 、B i 、C i ,i ＝1、2、3.由题意知,事件A i 、B i 、C i (i ＝1、2、3)相互独立,则P (A i )＝3060＝12,P (B i )＝2060＝13,P (C i )＝1060＝16(i ＝1、2、3),故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝A 33P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16.故选D.二、填空题7．(江西南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,已知第一次取得红球,则第二次取得白球的概率为35.解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,设事件A 表示“第一次取得红球”,事件B 表示“第二次取得白球”,则P (A )＝26＝13,P (AB )＝26×35＝15,∴第一次取得红球后,第二次取得白球的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1513＝35.8．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是516.解析：因为质点移动五次后位于点(2,3),所以质点P 必须向右移动2次,向上移动3次．故其概率为C 35⎝⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516.9．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4)．现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品,其中质量在[98,104]内的产品估计有8_186件．附：若X 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ－σ<X <μ＋σ)≈0.682 7,P (μ－2σ<X <μ＋2σ)≈0.954 5.解析：由题意知μ＝100,σ＝2,则P (98<X <104)＝12[P (μ－σ<X <μ＋σ)＋P (μ－2σ<X <μ＋2σ)]≈0.818 6,所以质量在[98,104]内的产品估计有10 000×0.818 6＝8 186件．10．在四次独立重复试验中,事件A 在每次试验中出现的概率相同,若事件A 至少发生一次的概率为6581,则事件A 恰好发生一次的概率为3281.解析：设事件A 在每次试验中发生的概率为p ,则事件A 在4次独立重复试验中,恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k 4p k(1－p )4－k (k ＝0,1,2,3,4),∴P (X ＝0)＝C 04p 0(1－p )4＝(1－p )4,由条件知1－P (X ＝0)＝6581,∴(1－p )4＝1681,∴1－p ＝23,∴p ＝13.∴P (X ＝1)＝C 14p ·(1－p )3＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281. 三、解答题11．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制,每场必须分出胜负,场与场之间互不影响,只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场且甲篮球队胜3场,已知甲球队第5,6场获胜的概率均为35,但由于体力原因,第7场获胜的概率为25.(1)求甲队以43获胜的概率；(2)设X 表示决出冠军时比赛的场数,求X 的分布列和数学期望． 解：(1)设甲队以43获胜的事件为B ,∵甲队第5,6场获胜的概率均为35,第7场获胜的概率为25, ∴甲队以43获胜的概率 P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352·25＝8125, ∴甲队以43获胜的概率为8125.(2)随机变量X 的可能取值为5,6,7,P (X ＝5)＝35,P (X ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35·35＝625,P (X ＝7)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352·25＋1－352·⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝425,∴随机变量X 的分布列为X 5 6 7 P35 625 425E (X )＝5×35＋6×625＋7×425＝13925.12．(河北石家庄新华模拟)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如下：(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N (μ,σ2),利用该正态分布,求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ,求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ＝142.75≈11.95；②若Z ～N (μ,σ2),则P (μ－σ<Z ≤μ＋σ)＝0.682 6,P (μ－2σ<Z ≤μ＋2σ)＝0.954 4. 解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x ＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)①∵Z 服从正态分布N (μ,σ2),且μ＝26.5,σ≈11.95,∴P (14.55<Z <38.45)＝P (26.5－11.95<Z <26.5＋11.95)＝0.682 6, ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6.②根据题意得X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫4，12,P (X ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116； P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14；P (X ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38；P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14； P (X ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116.∴X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P116143814116∴E (X )＝4×12＝2.13．(唐山市摸底考试)某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中,队员甲得分统计的茎叶图如图．(1)根据这8场比赛,估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N (μ,σ2),且各场比赛间相互没有影响,依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数．参考数据：32≈5.66,32.25≈5.68,32.5≈5.70.正态总体N (μ,σ2)在区间(μ－2σ,μ＋2σ)内取值的概率约为0.954. 解：(1)μ＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15,σ2＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.所以σ≈5.68. 所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15,标准差σ为5.68. (2)由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率P (X ≥26)≈12[1－P (μ－2σ<X <μ＋2σ)]≈12(1－0.954)＝0.023,设在82场比赛中,甲得分在26分以上的次数为Y ,则Y ～B (82,0.023)．Y 的均值E (Y )＝82×0.023＝1.886.由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数为1.886. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用14．(惠州市调研考试)某学校为了丰富学生的课余生活,以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛,随机抽取一首,背诵正确加10分,背诵错误减10分,且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p ＝23,记该班级完成n 首背诵后的总得分为S n .(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1,2,3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|,求ξ的分布列及数学期望．解：(1)当S 6＝20时,即背诵6首后,正确的有4首,错误的有2首．由S i ≥0(i ＝1,2,3)可知,若第一首和第二首背诵正确,则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确,第二首背诵错误,第三首背诵正确,则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率P ＝(23)2×C 24(23)2×(13)2＋23×13×23×C 23(23)2×13＝1681. (2)由题意知ξ＝|S 5|的所有可能的取值为10,30,50,又p ＝23, ∴P (ξ＝10)＝C 35(23)3×(13)2＋C 25(23)2×(13)3＝4081,P (ξ＝30)＝C 45(23)4×(13)1＋C 15(23)1×(13)4＝3081, P (ξ＝50)＝C 55(23)5×(13)0＋C 05(23)0×(13)5＝1181,∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝10×4081＋30×3081＋50×1181＝1 85081.。