全国中考数学真题精选5一、选择题1．（江西省）如图，P A 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ，下列结论中，错误的是 （ ）（A ）∠1＝∠2 （B ）P A ＝PB （C ）AB ⊥OP（D ）P 2A ＝PC ·PO2．（苏州市）如图，⊙O 的内接△ABC 外角∠ACE 的平分线交⊙O 于点D ．DF ⊥AC ，垂足为F ，DE ⊥BC ，垂足为E ．给出下列几个结论：①CE ＝CF ；②∠ACB ＝∠EDF ；③DE 是⊙O 的切线；④＝．其中一定成立的是 （ ）（A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④（D ）①②④3．（海南省）已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，则四边形ADBC 一定是 （ ） （A ）等腰梯形 （B ）正方形 （C ）菱形（D ）矩形二、填空题1．（新疆乌鲁木齐）如图，已知等腰△ABC 中，∠A ＝C 21，底边BC 为⊙O 的直径，两腰AB 、AC 分别与⊙O 交于点D 、E ．有下列序号为①~④的四个结论：①AD ＝AE ；②DE ∥BC ，③∠A ＝∠CBE ；④BE ⊥AC ．其中结论正确的序号是_________．2．（昆明市）如图，已知：⊙O的弦AC、BD相交于点E，点A为上一动点，当点A的位置在________时，△ABE∽△ACB．三、解答题：1．（上海市）已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，直线CM、DN分别切半圆于点C、D，且分别和直线AB相交于点M、N．（1）求证：MO＝NO；30，求证：MN＝4CD．（2）设∠M＝ο2．（甘肃省）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD＝OB，点C 30．求证：DC是⊙O的切线．在⊙O上，∠CAB＝ο90，AD⊥BC，垂足为D，3．（山东省）如图，已知等腰直角三形ABC中，∠CAB＝ο⊙O过A、D两点，分别交AB、AC、BD于E、F、G（G在D的左侧）．（1）求证：EG ＝AF ．（2）若AB ＝12+，⊙O 的半径为23，求tan ∠ADE 的值． 4．（杭州市）如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点C ，⊙O 1与⊙O 2的连心线与外公线相交于P ，外公切线与两圆的切点分别为A 、B ，且AC ＝4，BC ＝5．（1）求线段AB 的长； （2）证明：PB PA PC ⋅=25．（河南省）已知：如图，△ABC 内接于⊙O 1，AB ＝AC ，⊙O 2与BC 相切于点B ，与AB 相交于点E ，与⊙O 1相交于点D ，直线AD 交⊙O 2于点F ，交CB 的延长线于G ．求证：（1）∠G ＝∠AFE ； （2）AB ·EB ＝DE ·AG ．6．（贵阳市）已知：如图，圆内接四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线相交于点E ．且∠DBA ＝∠EBC ．求证：AD ·BE ＝EC ·BD ．7．（新疆乌鲁木齐）如图，已知⊙O的两条弦AC、BD相交于点Q，OA⊥BD．AB＝AQ·AC；（1）求证：2（2）若过点C的⊙O的切线交DB的延长线于点P，求证：PC＝PQ．8．（成都市）已知：如图，⊙O的半径为R，CD是⊙O的直径，以点D为圆心，以r（r＜R）为半径作圆D，⊙D与⊙O相交于A、B两点，BC的延长线与⊙D相交于点E，连结AE．r2求证：（1）AE∥CD；（2）AE＝R9．（扬州市）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，CE切⊙O于点F，交AB的延长线于点E．求证：EF·EC＝EO·ED．10．（常州市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，边AD、BC的延长线相交于点P，直线AE切⊙O于点A，且AB·CD＝AD·PC．求证：（1）△ABD∽△CPD；（2）AE∥BP11．（武汉市）已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC＝BD．求证：△OCD为等腰三角形．12．（西宁市）如图，⊙O是以Rt△ABC的直角边AC为直径的圆，且与斜边AB相交于点D，过D作DH⊥AC，垂足为H，又过D作直线交BC于E，使∠HDE＝2∠A．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）OE是Rt△ABC的中位线．13．（乌鲁木齐市）已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，PB切⊙O于B．交DA的延长线于P点，求证：AP·BD＝BP·CD．14．（北京市顺义区）已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥EC．求证：（1）DC＝BC；（2）若DC︰AB＝3︰5，求∠ACD的正弦值．15．（天津市）已知，如图，两圆内切于点P，大圆的弦AB切小圆于点C，PC的延长线交大圆于点D．求证：（1）∠APD＝∠BPD；（2）P A·PB＝PC2＋P A·CB．16．（辽宁省）已知：如图，△ABC内接于⊙O1，AB＝AC，⊙O2与BC相切于点B，与AB相交于点E，与⊙O1相交于点D，直线AD交⊙O2于点F，交CB的延长线于点G．求证：（1）EF∥CG；（2）AB·EB＝DE·AG．17．（哈尔滨市）已知：如图，BD是⊙O的直径，弦AC⊥BD，垂足为E，BA和CD 的延长线交于点P．求证：（1）AB＝BC；（2）CD·PC＝P A·PB．18．（甘肃省）如图，在内切的两圆中，设C为小圆的圆心，O为大圆的圆心，P为切点，⊙O的弦PQ和⊙C相交于R，过点R作⊙C的切线与⊙O交于点A、B．求证：Q是的中点．19．（镇江市）已知：如图，⊙O1和⊙O2内切于点T，⊙O2的弦CD切⊙O1于点E，连结TC、TD分别交⊙O1于A、B，TE的延长线交⊙O2于点F，连结AB、FD．求证：（1）AB∥CD；（2）∠CTF＝∠DTF；（3）DF2－EF2＝CE·DE．20．（武汉市）如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AC是⊙O1的切线且交⊙O2于点C，AD是⊙O1的切线且交⊙O1于点D，连结DB、CB、AB．21．（广州市）如图，设点D、E分别为△ABC的外接圆、的中点，弦DE交AB于点F，交AC于点G．求证：AF·AG＝DF·EG．22．（成都市）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线与△ABC外接圆O交于点D，与BC的延长线交于点F，DE是BD的延长线，连结CD．求证：（1）FF平分∠EDC；（2）AF2－AB2＝AF·DF．23．（成都市）已知：如图，⊙O1和⊙O2外切于A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，切点为B、C，连结BA并延长交⊙O1于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E、F．求证：（1）CD是⊙O1的直径；（2）试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论．24．（贵阳市）已知：如图所示，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的切线，B为切点，劣弧＝．连结AE并延长交BD于D，连结AC．求证：AB 2＝AC ·AD ．25．（贵阳市）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于D ．交⊙O 于E ，EF ∥BC 交AC 的延长线于F ，连结CE ．求证：（1）∠BAE ＝∠CEF ； （2）EF 是⊙O 的切线． 参考答案 一、选择题 1．D 2．D 3．D 二、填空题 1．①②④ 2．的中点三、解答题：1．连结OC 、OD ．（1）∵ OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ．∵CD ∥AB ，∠OCD ＝∠DOM ，∠ODC ＝∠DON ．∴ ∠COM ＝∠DON ．∵CM 、DN 分别切半圆O 于点C 、D ，∴∠OCM ＝∠ODN ＝ο90．∴ △OCM ≌△ODN ．∴OM ＝ON ．（2）由（1）△OCM ≌△ODN 可得∠M ＝∠N ．∵∠M ＝ο30，∠N ＝ο30．∴ OM ＝2OC ，ON ＝2OD ，∠COM ＝∠DON ＝ο60∴∠COD ＝ο60． ∴ △OCD 是等边三角形，即CD ＝OC ＝OD ．∴MN ＝OM ＋ON ＝2OC ＋2OD ＝4CD ．2．连结OC 、BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝ο90． 又∵ ∠CAB ＝ο30，∠ABC ＝ο60． ∵ OB ＝OC ，∴△BOC 为等边三角形． ∴ BC ＝OB ＝BD ，即△BCD 为等腰三角形． 又 ∠CBD ＝ο120，∴∠BCD ＝ο30．∴ ∠OCD ＝∠OCB ＋∠BCD ＝ο60＋ο30＝ο90， 点C 在⊙O 上，故DC 是⊙O 的切线．3．（1）在圆内接四边形形AEDF 中，∵∠EAF ＝ο90，∴∠EDF ＝ο90（圆内接四边形对角互补），即∠ADF ＋∠EDA ＝ο90．又∠GDE ＋∠EDA ＝ο90，∴∠GDE ＝∠ADF ， ∴，∴EG ＝AF ．（2）在圆内接四边形AEGD 中，∵∠ADG ＝ο90，∴∠AEG ＝ο90．又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴△BEG 是等腰直角三角形．边结AG ，则AG 是⊙O 的直径，∴AG ＝3．在Rt △BEG 中，设EG ＝x ，BE ＝x ，AE ＝x -+12，由勾股定理，22EG AG +，即()()222123+-+=，解得2=x 或x ＝1．当2=x 时，BG ＝2，而BD ＝22122+=AB ＜2，不符合图中实际，舍去2=x ．∴tan ∠ADE ＝tan ∠AGE 212==EG AE ． 4．（1）由已知条件可得∠A ο1801221=∠+O BO O O ，又21=∠+∠CBA CAB （∠A ο901221=∠+O BO O O ），所以∠ACB ＝ο90，AB ＝415422=+．（2）由已知条件解（1）过程中的有关结论，可知∠AC 1O 与∠ABC 都是∠BC 2O （∠BC 2O ＝∠CB 2O ）的余角，在△P AC 与△PCB 中，∠P ＝∠P ，∠PCA ＝∠PBC ，所以△PCA ∽△PBC ．有PCPA PB PC =，即证得PB PA PC ⋅=2． 5．（1）连结BD ．∵∠FEB ＝∠FDB ，∠FDB ＝∠C ．∴∠FEB ＝∠C ．又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ．∴∠FEB ＝∠ABC ．∴EF ∥CG ，∴∠G ＝∠AFE ． （2）连结BF ．∵∠ADE ＝∠ABF ，∠DAE ＝∠BAF ．∴△ADE ∽△ABF ，∴AG AB BF DE =．∵EF ∥CG ，∴AG AF AB AE =，∴AF AE AG AB =．∴AGABBF DE =．∵∠BEF ＝∠ABC ，∠ABC ＝∠BFE ，∴∠BEF ＝∠BFE ，∴BE ＝BF ．∴AGABBE DE =．∴ AB ·EB ＝DE ·AG ．6．∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，∴ ∠BCE ＝∠A ，又∵ ∠DBA ＝∠EBC ，∴ △ABD ∽△CBE ，∴BEBDCE AD =．∴ AD ·BE ＝EC ·BD ． 7．（1）连结BC ．∵ OA ⊥BD ，∴ 由垂径定理知，在△ABQ 与△ACB 中，∵ ∠BAQ ＝∠CAB ，由⇒∠ABQ ＝∠ACB ．于是△ABQ ∽ACB ．则ABAQ AC AB =．故AB 2＝AQ ·AC ． （2）连结OC ，∵ OA ＝OC ，∴ ∠ACO ＝∠CAO ，又PC 是⊙O 的切线，∴ OC ⊥PC ，即∠ACO ＋∠PCQ ＝ο90，由已知OA ⊥BD 知∠CAO ＋∠AQD ＝ο90．又∵ ∠CAO ＝∠AQD ．∠CAO ＋∠PQC ＝ο90．于是有∠PCQ ＝∠PQC ．故PC ＝PQ ．8．（1）连结AB ，则CD ⊥AB ．又∵ BE 是⊙D 的直径，∴ ∠EAB ＝ο90，即AE ⊥AB ．∴ AE ∥CD ．（2）连结CB ，则∠CBD ＝ο90．CD ⊥AB ，∴．∴ ∠C ＝∠EBA ．∴ Rt△CDB ∽Rt △BEA ．∴ AE BD BE CD =，即AErr R =22．∴ R r AE 2=．9．连结OF ，∵ CE 切⊙O 于点F ，∴ OF ⊥CE ，∵ CD ⊥AB ，∴ ∠CDE ＝∠OFE ＝ο90又∵ ∠E ＝∠E ，∴ △CDE ∽△OFE ，∴ ECED EO EF =，∴ EF ·EC ＝EO ·ED ．10．⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⇒⋅=⋅∠=∠⇒ΘCD ADPC AB PC AD CD AB DCP BAD O ABCD 内接于四边形△ABD ∽△CPD ⇒∠ABD ＝∠P ⇒∠=∠⇒⎭⎬⎫∠=∠⇒⎭⎬⎫EAD P ABD EAD AD A O AE 是弦于点⊙切AE ∥BP ．11．∵ OA ＝OB ，∠A ＝∠A ，AC ＝BD ．∴ △AOC ≌△BOD ．∴ OC ＝OD ．∴ △OCD 为等腰三角形． 12．（1）连结OD ，则OD 是⊙O 的半径，∵ ∠HDE ＝2∠A ，∠DOH ＝2∠A ， ∴ ∠HDE ＝∠DOH ， 又 DH ⊥AC ，∴ ∠DOH ＋∠ODH ＝90°， ∴ ∠HDE ＋∠ODH ＝90°， ∴ DE 是⊙O 的切线． （2）∵ DE 是⊙O 的切线，∴ ∠ODE ＝90°，又OC ＝OD ，OE ＝OE ， ∴ △ODE ＝≌△OCE ，∴ ∠COE ＝∠DOE ， 又 ∠A ＝21∠COD ，∴ ∠COE ＝∠A ，∴ OE ∥AB ， 又 AO ＝OC ，∴ OE 是△ABC 的中位线． 13．∵ 四边形ABCD 内接于⊙O ，∴ ∠C ＝∠BAP 又 ∵ PB 切⊙O 于B ，∴ ∠PBA ＝∠BDA ． 又 ∵ CB ∥DA ，∴ ∠BDA ＝∠DBC ． 即 ∠DBC ＝∠PBA ，∴ △CBD ∽△ABP ，∴APBPCD BD即 AP ·BD ＝BP ·CD ． 14．（1）证法一：如图，∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACB ＝90°， ∵ AE ⊥EC ， ∴ ∠AEC ＝90°， ∴ ∠AEC ＝∠ACB ． ∵ EC 是⊙O 的切线， ∴ ∠ECA ＝∠CBA ， ∴ △ACE ∽△ABC ， ∴ ∠EAC ＝∠CAB ． ∴＝，∴ DC ＝BC ．证法二：如图，连结BD 、OC 相交于点F ，∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ADB ＝90， ∵ EC 是⊙O 的切线， ∴ ∠ECF ＝90° ∵ AE ⊥EC ，∴ ∠DEC ＝90°， ∴ 四边形CEDF 是矩形． ∴ OC ⊥BD ，FC ＝DE ， ∴＝，∴ DC ＝BC ．（2）解法一：设DC ＝3a ，则BC ＝3a ，AB ＝5a ， 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝22BC AB -＝4a ．∵ △ACE ∽△ABC ，∴ABACAC AE BC EC == ∴ a a a AE a EC 5443==，∴ EC ＝512a ，AE ＝516a ． 在Rt △DEC 中，由勾股定理，得DE ＝22EC DC -＝59a ． ∵ AD ＝AE －DE ，∴ AD ＝516a －59a ＝57a ． 连结BD ，则∠ADB ＝90°，∠ACD ＝∠ABD ． ∴ sin ∠ACD ＝sin ∠ABD ＝AB AD ＝257． 解法二：DC ＝3a ，则BC ＝3a ，AB ＝5a ， ∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°．∴ ∠CED ＝∠ACB ，∠EDC ＝∠CBA ，∴ △DEC ∽△BCA ．∴AB CD BC DE =，∴ a a a DE 533=，∴ DE ＝59a ． ∴ FC ＝59a ，∴ OF ＝OC －FC ＝25a －59a ＝107a ，∵ ∠ACD ＝∠ABD ． ∴ sin ∠ACD ＝sin ∠OBF ＝OB OF ＝257． 15．（1）如图，过P 作两圆的公切线MN ，∵ MN 与AB 均为小圆切线，且弦切角∠NPC 与∠BCP 所夹的弧均为．∴ ∠NPC ＝∠BCP ．∵ ∠NPC ＝∠NPB ＋∠BPC ， ∠BCP ＝∠P AC ＋∠APC ， 而 ∠NPB ＝∠P AB ＝∠P AC ，∴ ∠NPC －∠BCP ＝∠NPB ＋∠BPC －∠P AC －∠APC ， ∴ ∠BPC ＝∠APC ，即 ∠BPD ＝∠APC ． （2）连结AD ．在△PDA 和△PBD 中，由（1）可知∠DP A ＝∠BPC ． 又∵ ∠ADP ＝∠CBP ，∴ △PDA ∽△PBC ． ∴PBPDPC PA，即 P A ·PB ＝PD ·PC ， ∵ PD ·PC ＝（PC ＋CD ）·PC ＝PC 2＋PC ·PD ． 又∵ PC ·PD ＝AC ·BC ，∴ PC ·PD ＝PC 2＋AC ·BC ． ∴ P A ·PB ＝PC 2＋AC ·BC ． 16．如图，（1）证法一：连结BD ，∵ ∠FEB ＝∠FDB ，∠FDB ＝∠C ， ∴ ∠FEB ＝∠C ， 又∵ AB ＝AC ， ∴ ∠ABC ＝∠C ，∴ ∠FEB ＝∠ABC ，∴ EF ∥CG ． 证法二：也可证出∠AGB ＝∠EFD （同位角）， 得出EF ∥CG ．（2）证法一：连结DE ，∴ EF ∥CG ，∴ ∠DFE ＝∠G ，又∵ ∠DBE ＝∠DFE ，∴ ∠DBE ＝∠G ， 即 ∠DBE ＝∠CGA ，∵ ∠ABC ＝∠C ，∠ABC ＝∠BDE ， ∴ ∠BDE ＝∠C ， 即 ∠BDE ＝∠GCA ． ∴ △BDE ∽△GCA ．∴CADEAG EB =． ∵ AB ＝AC ，∴ AB ·EB ＝DE ·AG ．证法二：连结BF ，可证△ADE ∽△ABF ，得AFAEBF DE =． 由EF ∥CG ，得AG AB AF AE =，从而可得AGABBF DE =， 再证BE ＝BF ．得AB ·EB ＝DE ·AG ． 17．连结AD ，如图，（1）∵ BD 是直径，AC ⊥BD ， ∴＝，＝，∴ AB ＝BC ，AD ＝DC ．，（2）∵ 四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴ ∠PDA ＝∠PBC ，又∵ ∠P ＝∠P ，∴ △P AD ∽△PCB ．∴ CBADPC PA =， ∴ P A ·CB ＝AD ·PC ，∵ AB ＝BC ，AD ＝DC ，∴ CD ·PC ＝P A ·AB ．18．如图连结PC 并延长，由连心线性质可知O 一定在PC 的延长线上，连结CR ，OQ ．∵AB切小圆于R，∴CF⊥AB．又∵CP＝CR，∴∠1＝∠2同理OP＝OQ，得∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．∴CR∥OQ，∴OQ⊥AB，∴Q是的中点（垂径定理）．19．（1）过点T作两圆的公切线TP，∵∠PTD＝∠TAB，∠PTD＝∠TCD，∴∠TAB＝∠TCD，∴AB∥CD（2）方法一：连结AE，∵EC是⊙O1的切线，∴∠CEA＝∠CTF．∵AB∥CD，∴∠CEA＝∠EAB．又∵∠EAB＝∠DTF，∴∠CTF＝∠DTF．方法二：∵TP、CD是⊙O1的切线．∴∠PTE＝∠DET．∵∠DET＝∠C＋∠CTE，∠PTE＝∠PTD＋∠DTF，∠PTD＝∠C，∴∠CTF＝∠DTF．方法二：连结O1E．∵CD切⊙O1于点E，∴O1E⊥CD．∵AB∥CD，∴O1E⊥AB，∴＝，∴∠CTF＝∠DTF．（3）∵∠CDF＝CTF，∠∠CTF＝∠DTF．∴∠CDF＝∠DTF．又∵∠DFE＝∠TFD，∴△DFE∽△TFD．∴TFDF DF EF =，即 DF 2＝EF ·TF ． ∵ TF ＝TE ＋EF ，∴ DF 2＝EF ·（TE ＋EF ）＝EF ·TE ＝EF 2， ∴ DF 2－EF 2＝EF ·TE ．∵ EF ·TE ＝CE ·DE ，∴ DF 2－EF 2＝CE ·DE ． 20．（1）AC 为⊙O 1的切线，∴ ∠BAC ＝∠D ，同理∠DAB ＝∠C ， ∴ABBCBD AB =， 即 AB 2＝BC ·BD ．（2）如图，连结ED ，则∠ADE ＝∠ABE ＝∠BAC ＋∠C ，∠AED ＝∠ABF ＝∠BAD ＋∠ADB ． 由（1）知△ABC ∽△DBA ，∴ ∠BAC ＋∠C ＝∠BAD ＋∠ADB ， ∴ ∠ADE ＝∠AED ， ∴ AE ＝AD ．而 ∠AEB ＝∠ADB ，∠C ＝∠F ， ∴ △AEC ≌△ADF ． 21．如图，连结AD 、AE ，∵ D 是的中点，∴＝．∴ ∠BAD ＝∠AED ．同理可证∠ADE ＝∠CAE ． ∴ △ADF ∽△EAG ． ∴AGDFEG AF =，∴ AF ·AG ＝DF ·EG ． 22．（1）∵ AB ＝AC ，∴ ∠ABC ＝∠ACB ． ∵ ∠ADB ＝∠ACB ，∠ADB ＝∠FDE ， ∴ ∠FDE ＝∠ACB ＝∠ABC ， ∵ ∠CDF ＝∠ABC ，∴ ∠CDF ＝∠FDE ，即DE 平分∠EDG ． （2）在△ADF 和△ADC 中，∵ ∠CDF ＝∠ABC ＝∠ACB ，∴ ∠ACF ＝∠ADC ． ∵ ∠CAF ＝∠DAC ，∴ △ACF ∽△ADC ． ∴ACAF AD AC =，即 AC 2＝AD ·AF ． ∵ AB ＝AC ，∴ AB 2＝AD ·AF ．∴ AF 2－AB 2＝AF 2－AD ·AF ＝AF （AF －AD ）＝AF ·DF ．23．（1）如图，过点A 作⊙O 1和⊙O 2的内公切线交BC 于点G ，连结AC ．∵ GB 、GA 分别切⊙O 2于B 、A ， ∴ GB ＝GA ，同理 GC ＝GA ． ∴ GA ＝GB ＝GC ．∴ AB ⊥AC ，即∠CAD 为直角， ∴ CD 是⊙O 1的直径．（2）结论是BC ＝BE ＝BF ．连结AE ．在△ABE 和△EBD 中，∵ ∠CBA ＝∠BEA ， 又∵ BC ∥FD ，∴ ∠CBA ＝∠BDE ． ∴ ∠BEA ＝∠BDE ．又∵ ∠ABE ＝∠EBD ，∴ △ABE ∽△EBD ． ∴BOBE BE BA =，即BE 2＝BA ·BO ． ∵ ∠CBE ＝∠BFE ，又∵ BC ∥FD ，∴ ∠CBE ＝∠BEF ， ∴ ∠BFE ＝∠FEB ，∴ BE ＝BF ． ∴ BE ＝BF ＝BC ． 24．证明：连结BC ．⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∠=∠⇒⎭⎬⎫︒=∠⇒⊥⇒︒=∠⇒∠=∠⇒=ABD ACB ABD BD AB O BD ACB O AB BADCAB BE BC 9090的切线⊙为的直径⊙为△ABC ∽△ADB ⇒ABAC AD AB =⇒AB 2＝AD ·AC ． 25．（1）证明：⎪⎭⎪⎬⎫∠=∠⇒∠=∠⇒∠∠=∠CEF BCE BC EF FAE BAE BAC AE BCEBAE ∥的平分线是⇒∠BAE ＝∠CEF⎭⎬⎫=⇒∠=∠是半径，连结OE CE BE FAE BAE OE )2(⇒⎭⎬⎫⊥EF BC BC OE ∥⇒OE ⊥EF ⇒EF 是⊙O 的切线．。