模型二：等比数列
已知任意两项求公比：
am qmn an
(m, n N )
等比数列的判定：
若
an
满足
an an1

q，则 an 是一个
等比数列
模型二：等比数列
通项公式： an a1 • qn1
等比性质：当 m n p q时
am • an ap • aq
1) 2
(1 2

1) 3
(1 3

1) 4
...... (1 n

1) n 1
1 1 n n1 n1
二、两个模型及规律
模型二：等比数列
定义：如果数列中的任意相邻两项， 后一项与前一项的比是定值时， 这个 数列就叫等比数列，这个定值叫公比， 记作q。
特殊： a1 0, q 0
和与项之间的转换 和的最值的求解 含绝对值的和的求解 裂项相消求和
模型一：等差数列
递推公式：an an1 d (n 2, n N ) 迭代： an1 an2 d 或：an1 an d
模型一：等差数列
叠加得
an an1 d .a.n...1. an2 d a3 a2 d a2 a1 d
新等差数列：
若 an 是等差数列 则man c是等差数列
aknc 是等差数列
模型一：等差数列
倒序相加
Sn a1 a2 a3 ...... an Sn an an1 an2 ...... a1
2Sn n(a1 an )
模型一：等差数列
aknc 是等比数列
模型二：等比数列
错位相减
Sn a1 a2 a3 ...... an qSn a2 a3 ...... an an1
(1 q)Sn a1 an1
模型二：等比数列
求和公式：

S
n

a1(1 qn ) 1 q
等比递推
an f (n) an1 f (an ) q f (an1)
1、求通项
f (an ) q f (an1)
用累乘法得
f (an ) qn1 f (a1)
再根据 f (an ) 的表达式求 an
2、求和
和从哪来？
通项公式 求和公式
2、求和
常用求和方法
倒序相加 裂项相消 分组求和 错位相减
数列
制作：星哥
目录
一、什么是数列？有哪些点？ 二、两个模型及规律 三、规律的高级应用
一、什么是数列？有哪些点？
a1, a2 , a3...... an 代表一个数列，简记 an
a1 是数列的第 1 项，也称首项 an 是数列的第 n 项，也称通项
一、什么是数列？有哪些点？
Sn 代表数列 an 的前n项和
和的比值与q的联系
模型二：等比数列
递推公式： an q(n 2, n N ) an1
迭代： an1 q an2
或： an1 q an
模型二：等比数列
an

an
1

q

an1 an2
q
......
a2 a1
q
累乘得 an qn1 a1
am an ap aq
模型一：等差数列
等差中项：当 m n 2 p 时 am an 2ap
等差中项：当 a,b, c 三个数成 等差数列时，a c 2b
模型一：等差数列
等差数列的判定：
当 an 的表达式是一个与n有关的
一次函数时，则 an 是等差数列
模型一：等差数列
Sn a1 a2 a3 ...... an
一、什么是数列？有哪些点？
an 和 Sn 的关系
aa1n

S1 (n Sn
1) Sn1
(n

2)
二、两个模型及规律
模型一：等差数列
定义：如果数列中的任意相邻两项， 后一项与前一项的差是定值时， 这个 数列就叫等差数列，这个定值叫公差， 记作d。
模型一：等差数列
和的最值的求解：
当等差数列an 的 a1 小于0，d 大于0时，
Sn 有最小值 列 aann1 00 求出n值，再求 Sn
模型一：等差数列
含绝对值的和的求解：
当等差数列 an 的 a1 小于0，d大于0时，
a1 a2 a3 ...... an Sn 2 Sk Sk 指所有负数项的和
等比递推
an f (n) an1 f (an ) q f (an1)
1、求通项
f (an ) f (an1) d 用叠加法得 f (an ) f (a1) (n 1)d 再根据 f (an ) 的表达式求 an
1、求通项
递推模型
怎么求？
等差递推
an an1 f (n) f (an ) f (an1) d
等比数列
模型二：等比数列
和的比值与q的联系：
Sm Sn

1 1
qm qn
(m, n N )
三、规律的高级应用
1、求通项 2、求和 3、和与不等式结合
1、求通项
通项从哪来？
递推公式 通项公式
1、求通项
递推模型
怎么求？
等差递推
an an1 f (n) f (an ) f (an1) d
等比递推
an f (n) an1 f (an ) q f (an1)
1、求通项
an f (n) an1
用累乘法得
f (an ) f (1) • f (2) •...... • f (n) f (a1)
1、求通项
递推模型
怎么求？
等差递推
an an1 f (n) f (an ) f (an1) d
模型一：等差数列
定义 递推公式 通项公式 求和公式
模型一：等差数列
定义
递推公式
迭代
通项公式
叠加法
求和公式
已知任意两项求公差 等差数列的判定
模型一：等差数列
定义 递推公式
等差数列的判定 新等差数列
通项公式
等差性质
求和公式 倒序相加
等差中项
模型一：等差数列
定义 递推公式 通项公式 求和公式
等差数列的判定 新等差数列
模型二：等比数列
定义 递推公式 通项公式 求和公式
模型二：等比数列
定义
递推公式
迭代
通项公式
累乘法
求和公式
已知任意两项求公比 等比数列的判定
模型二：等比数列
定义 递推公式
等比数列的判定 新等比数列
通项公式
等比性质
求和公式 错位相减
等比中项
模型二：等比数列
定义
递推公式 通项公式 求和公式
等比数列的判定 新等比数列
模型二：等比数列
等比中项：当 m n 2 p 时 am • an ap2
等差中项：当 a,b, c 三个数成
等比数列时
a •c b2
模型二：等比数列
等比数列的判定：
当 an 的表达式形如 an • qn1 时，则
an 是等比数列
模型二：等比数列
新等比数列：
若 an 是等比数列 则man 是等比数列
Sn na1
(q 1) (q 1)
模型二：等比数列
等比数列的判定：
当 Sn 的表达式形如 Sn • qn 时
则an 是一个等比数列
模型二：等比数列
新等比数列：
当an 是一个等比数列时，则
Sn , S2n Sn , S3n S2n...... 也构成一个
变式
变式
3、和与不等式的结合
常用方法
先求和，再放缩 先放缩，再裂项求和 先放缩成等比数列，再求和 先放缩成等差数列，再求和
等差数列
模型一：等差数列
和与项之间的转换：
S2n1 (2n 1)an (n N )
an

S2n1 2n 1
(n N )
模型一：等差数列
和的最值的求解：
当等差数列an 的 a1 大于0，d 小于0时，
Sn 有最大值 列 aann1 00 求出n值，再求 Sn
等比递推
an f (n) an1 f (an ) q f (an1)
1、求通项
an an1 f (n)
用叠加法得 an a1 f (1) f (2) ...... f (n)
1、求通项
递推模型
怎么求？
等差递推
an an1 f (n) f (an ) f (an1) d
模型一：等差数列
裂项相消求和：
当an 的通项 an 的表达式是一个分式，而
且分母是一个特殊的二次函数时，可以裂项。
关联：Sn 的表达式是一个与n有关的二次函数
模型一：等差数列
裂项相消求和：
an

1 n2
n

1 n(n 1)

1 n

1 n 1
模型一：等差数列
裂项相消求和：
Sn

(1 1
an a1 (n 1)d
模型一：等差数列
已知任意两项求公差：
am an (m n)d (m, n N )
等差数列的判定：
若 an 满足 an an1 d，公式： an a1 (n 1)d
等差性质：当 m n p q时
求和公式：