累加累积 归纳猜想证明掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型 题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法 1、求通项公式(1)观察法。
(2)由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
⑴递推式为a n+i =3+d 及a n+i =qa n (d ，q 为常数) 例1、 已知｛a n ｝满足a n+i =a n +2，而且a i =1。
求a n 。
例1、解 ■/ a n+i -a n =2为常数••• ｛a n ｝是首项为1，公差为2的等差数列/• a n =1+2 (n-1 )即 a n =2n-11例2、已知｛a n ｝满足a n 1 a n ，而a 1 2，求a n =?佥 1 2解■/^ = +是常数.■-傀｝是以2为首顶，公比为扌的等比数把n-1个等式累加得： .' • an=2 • 3n-1-1ji i 〜 / ] — 3⑷ 递推式为a n+1=p a n +q n (p ，q 为常数)s1 1【例即己知何沖.衍二右札+ 吧求％略解在如十冷)*的两边乘以丹得2严‘ *珞1 = ~〔2怙血)+1.令亠=2n召则也€%乜于是可得2 2 n b n1 n 1nb n 1 b n (b n b n 1)由上题的解法，得：b n 32(—) • a .n3(—) 2(—)3 32 23★说明对于递推式辺曲=+屮，可两边除以中叫得蹲= Q計/斗引辅助财如(%=芒.徼十氣+护用(5) 递推式为 a n 2 pa n 1 qan知识框架 数列 的概念 数列的分类 数列的通项公式 数列的递推关系函数角度理解(2)递推式为 a n+1=a n +f (n )1 2 例3、已知｛a n ｝中a 1a n 1a n1，求 a n .4n 2 1等差数列的疋义 a n a n 1 d(n 2)等差数列的通项公式a n a 1 (n 1)d等差数列等差数列的求和公式 S n (a 1 a n ) na1n(n 1)d22等差数列的性质 a na m a pa q (m n p q)两个基本数列等比数列的定义a n 1q(n 2)等比数列的通项公式a nn 1a 1q数列 等比数列a 1 a n q3(1q )(q 1)等比数列的求和公式S n 1 q1 q/n a 1(q 1)等比数列的性质 S n S ma p a q (m np q)公式法 分组求和 错位相减求和 裂项求和 倒序相加求和解：由已知可知a n 1a n(2n 1)(2n 1)夕2n 1 2n令n=1，2，…，(n-1 )，代入得(n-1 )个等式累加，即(a 2-a 1) +1广 K z 1】、=-[(1-" +JJ 5 _■冷(一 Jr★ 说明 只要和f ( 1) +f (2) 入，可得n-1个等式累加而求a n 。
⑶ 递推式为a n+1=ps n +q (p , q 为常数)1 a na 1(12+・…+f例 4、｛a n ｝中，ai 1，对于 n > 1 (n € N) 有a n(a 3-a 2) +• + (a n -a n-1)L )也2n 1 4n 2(n-1 )是可求的，就可以由a n+1=a n +f (n )以n=1，2，…，3a n 12，求 a n ・数列 求和 解法一： 由已知递推式得 a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。
两式相减：a n+1-a n =3 (a n -a n-1)因此数列｛a n+1-a n ｝是公比为3的等比数列，其首项为 a 2-a 1= (3X 1+2) -1=4--a n+1 -a n =4 • 3- a n+1 =3a n +2 - - 3a n +2-a n =4 • 3 即 a n =2 • 3 -1解法_ : 上法得｛a n+1-a n ｝是公比为 3 的等比数列，于是有： a 2-a 1=4， a 3-a 2=4 • 3， a 4-a 3=4 • 3• 3 ，数列的应用分期付款 其他2)。
思路：设 a n 2 pa n 1 qa n ,可以变形为：a n 2 a n 1 (a n 1 a n ),f G 十 B = p 就是％厂3 +◎ 3-Q 卩“则可从门R 解得^ 0 ［Q • p = -q 于是｛a n+1- a a n ｝是公比为B 的等比数列，就转化为前面的类型。
数列求和的常用方法：1、 拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
2、 错项相减法：适用于差比数列(如果a n 等差，b n 等比，那么 a n b n 叫做差比数列)即把每一项都乘以 b n 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
_厂］1【那】-「-八求a n3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
a +分析门 CL •解在S ｛耳+11日J 是公比为■善・首项为七 -町=啲等比数列。
⑹递推式为S 与an 的关系式 a l & -乩 【例丫】 设(aj 前11项的和S n =4-a n - 解Cl)由—氐-十得占珅］=彳_巳时1 _此类型可利用gCn = D (n>2> 善0)在 田与日氏的 关系；(2)试用n 表示a n 。
1^^…S n 1S n (a n a n 1)1…a n 1 a n a n 1 1…a n 1上式两边同乘以2n+1得2n+1a n+1=2na n +2则｛2金｝是公差为2的等差数列。
/• 2a n = 2+ ( n-1 ) • 2=2n…"河(六12an亠2“ 1'丄2n适用于数列a n a n 1可裂项为：一a n(其中a n 等差)1 . __ ._ (a n 1 an)d等差数列前n 项和的最值问题：1、若等差数列a n 的首项a 1 公差d 则前n 项和S n 有最大值。
(i)若已知通项a n ，则S n 最大(ii)若已知S n2pn qn ，则当2、若等差数列 a, 的首项a 10, (i)若已知通项(ii)若已知Sna n ，则S n 最小2pn qn ，则当a na n 1n 取最靠近 公差da na n 1n 取最靠近 数列通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知S n (即a 1已知a 1ga 2gL⑶已知条件中既有 ⑷若a n 1 a na 1(n 2)。
⑸已知空a na 2 L a n —的非零自然数时S n 最大;2p则前n 项和S n 有最小值~q 的非零自然数时S n 最小;2pf (n))求a n ,用作差法：f(n)求a n ,用作商法：a nf(1),(n f(n) 1) S 1,(n 1) S n _oSn 1,( n 2)2)° S n 还有a n ，有时先求S n ，再求a n ； f(n)求a n 用累加法：a n(a n f(n 1)，(n有时也可直接求(a n 1 a n 2)a n 1 )a n。
L @2 印)f (n)求a n ,用累乘法:a na n a n 1a n 1a n 2L ~2 a 1 (n a 122⑹已知递推关系求 a n ,用构造法（构造等差、等比数列） n 2 时，-a 12特别地，（1）形如a n ka n 1 b 、务 ka . 1 b n （ k, b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公 得: 2 a 221y n ann 1 a n 122n 1 5比为k 的等比数列后，再求a .；形如a . ka n 1 k n 的递推数列都可以除以 k n得到一个等差数列后，再求 a .。
•- a n（2） 形如a n 加的递推数列都可以用倒数法求通项。
ka n 1 bk （3） 形如a n 1 a n 的递推数列都可以用对数法求通项。
（7） （理科）数学归纳法。
a （8） 当遇到a n 1 a n 1 d 或 4 q 时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式a n 1•- an［练习］数列 14 2n(n (n 1) 2)a n 满足S n S n5 a n3a 1 4, 求a n（注意到a n S n 1S n 代入得: 数列求和的常用方法： （1） 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。
（3） 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序 又 S 1 4，「 S n 是等比数列,S n 1S nS n4n 相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 n 和公式的推导方法）. （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减 法（这也是等比数列前 n 和公式的推导方法）• n 2时，a n4、叠乘法S n S n 1•4n1（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求 和.常用裂项形式有： 例如：数列 a n 中，a 13,① 1 1 1 ；②1n(n 1) n n 1 n(n k)11 1 1 1 1 ③ k 21 ( )，2 k 1 k 1 k 1(1 k 'n 1k 1 代）；a n a n(k 1)k1 1 1~2k (k 1)k k 1解: aa 1a 3 a 2a na n 1a n J a 1 n④— n(n 1)(n 2) 1) 1 (n 1)(n 2) n (n 1)!丄 1 n! (n1)!又 a 1 3, •- an5、等差型递推公式由a n a n 1f（n ），a 1 a o， 求a n ，用迭加法、解题方法: 求数列通项公式的常用方法:1、公式法 n 2 时，a 2 a 3 a 1a 2f(2) f(3)两边相加，得:f(n)2、由S n 求a n a n a 1f(2) f(3)f(n)(n 1 时，a 1 S 1? n 2时，a n S n S n 1) 3、求差（商）法 女口： a n 满足—a 1 -2 a 2 2 2a n 2n n 2n 51 解：n 1 时，一 a 12 1 5,二 a 114二 an a0 f(2) f(3)……f(n)［练习］数列 a n , a 1 1, a n 3n 1 a n 1 n 2，求 a n1(a n J 3n 1 )6、等比型递推公式 a n ca n 1 d c 、d 为常数，c 0, c 1, d 2 .数列求和问题的方法 (1 )、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n 项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。