B：利用数字特征的性质计算 例 33-1. 设随机变量 X 的概率密度函数为
f ( x) =
1 −| x | e , − ∞ < x < +∞ 2
【0，2； 1 − e −1 】
求（1） EX 和 DX ； （2） E[min(| X |,1)] . 例 33-2. 设随机变量 X~ U[ 1, 2]; 记随机变量
2 2
(IV) P(Y1+Yn ≤ 0). 【 (I)
n n −1 2 1 σ (i = 1,2,L, n). (II) − σ 2 . III) c = 2(n − 2) n n
2
(IV) 1/2】
【类似例子 设X1, X2, …,Xn iid, ~ N(μ, σ ), 它们的算术平均值记为 X 令Yk = Xk −⎯X, 求 DYk, k=1, 2, …, n.
【类似例子 某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0< p <1), 各产品合格与否相互独 立, 当出现一个不合格产品时即停机检修. 设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X, 求X的数学期望EX和方差DX. ● 常见分布的综合或结合 例 33-13. 设X,Y 【1 /p, q /p 】 】
2
t≥0 t<0
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1
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Z
0
1
2
P
服从均匀分布, 令 U = ⎨
2/3
1/4
1/1
例 33-6. 设随机变量X和Y的联合分布在以点(0,1), (1,0), (−1,0)为顶点的三角形区域上
⎧ 1, 若2Y ≥| X |, 则 其 数 学 期 望 EU = ______, 其他. ⎩− 1,
方 差 DU =
__________ .
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i.i.d. ~ Ex(λ), 记T =X+Y，则DT=
2
.
【Γ (2, λ), 2/λ 】
2
例 33-14. 设X1, X2, …,Xn (n>2)为来自总体N(0, σ ) 的简单随机样本，⎯X为样本均值， 记Yi = Xi −⎯X, i = 1, 2, …, n. 求：(I) Yi的方差 D Yi , i = 1, 2, …, n; (II) Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn) (III) 若c(Y1+Yn) 是σ 的无偏估计量，求参数c.
三十六技之三十三技：函数期望是关键，常用分布背特征， 特征性质要牢记，二维特征定相关。
【相关知识点】 随机变量（向量）的函数的期望的计算公式； 常见分布的期望与方差； 期望、方差、协方差、相关系数的求法与性质应用 随机变量分解法求数字特征 例题 ● 数字特征的计算（包括期望、方差、协方差、相关系数等）
若X
⎧0, V =⎨ ⎩1，
≤ 2Y .. 若X > 2Y
若X
【解】
cov(U ,V ) 1 = . DU ⋅ DV 3
例 33-17. 设随机变量 Y~ Ex(1), 随机变量 求 (I) X1，X2的联合概率分布. (III) X1，X2的相关系数. 【解】 (I)
⎧0, 若Y ≤ k Xk = ⎨ k = 1, 2 ⎩1, 若Y > k ,
其中 0 ≤ α ≤ 1, λ > 0, μ > 0 为常数， （1）求 T 的数学期望与方差； （2）求在呼唤时间不超过 1 小时的条件下，呼唤时间 T ≤ t 的概率密度.
α 1−α 2α − α 2 （ 2 1 − α） − (1 − α ) 2 2α (1 − α ) ； DT = = + − 【解】(1) ET = + λ μ λμ λ2 μ2
例 33-12.
如第i名射手每次命中概率p i (0< p i <1), i=1,2. 求两射手均停止射击时脱靶（未命中） 总数的分布及数学期望. 【解】当p1 ≠ p2 ，
p1 p2 [(1 − p2 ) n+1 − (1 − p1 ) n +1 ] ； p1 − p2
2
当p1 = p2 ，
(n + 1) p1 (1 − p1 ) n .
【解】 (I) r = 0
(III) EU= EV= 0,
Cov(U,V)= EUV= E(X *)2 − E(Y *)2 = 0= EUEV ρ = 0
【注】 rX *Y * = rXY , E ( X *) = 0, D ( X *) = 1, E ( X *) = 1 .
2
● 特殊方法 — 随机变量的分解法 例 33-10. 设 X ~ B(n,p), 求 EX 和 DX.
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=
1 n
∑k =1 X k .
n
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Y X
0 1
2 2 2 2
1 0.07 0.08
0 0.18 0.32
1 0.15 0.20
则X 和Y 的协方差 Cov(X , Y ) = ________ . 【 0.02】 例 33-5. 设A, B为随机事件，且P( A) = 1/4, P(B| A) = 1/3, P( A | B) =1/2, 令
【解】
DZ = P( Z = 1) P ( Z = 0) = 2λμ /(λ + 2 μ ) 2 .
例 33-16. 设（X, Y）服从 G 上的均匀分布， 其中 G
= {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1} ，
求 U 和 V 的相关系数.
记
⎧0, U =⎨ ⎩1，
r=
≤Y , 若X > Y
2
(B) E ( X 1 X 2 ) = (1 − r ) ；
∑
n
i =1
X i ) = n (1 − r ) ； (D) 令 Yi = X i2 , i = 1,2,..., n 则 ∑i =1Yi ~ B(n, 1 − r ) .
n
例 33-8. 将一枚硬币重复掷 n 次, 以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 的相关系数等于 ( （A） –1. ) (B) 0.
(II) U＝ X 1 X 2 的分布.
X2 X1
0 0 1 1 0
1 − e −1
e −1 − e −2
e −2
−1
(II) U 的分布律（分布列）为
0 ⎛ ⎜ −1 −2 ⎝1 − e + e
e
1 ⎞ −2 ⎟ 。 −e ⎠
(III)
r = 1/ 1 + e .
例 33-18. 某箱装有 100 件产品, 其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10 件，现在随机抽 取一件，令
【1/3， 8/9 】
例 33-7. 设随机变量 X1, X2, …,Xn是iid的, 且 ~ ⎜ ⎜ < q <1, r ≥ 0, p + q + r = 1. (A) X1 = X2; (C) D( 则（ ） 。
⎛ −1 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ , 其中 0 < p <1, 0 ⎝ q r p⎠
【D 】
⎧ ∑ h( x i ) p i , ⎪ ⎪ i E[h( X )] = ∫ h( x)dF ( x) = ⎨+ ∞ −∞ ⎪ ∫ h( x) f ( x)dx, ⎪ ⎩−∞
+∞
+ ∞+ ∞
A：直接计算
X ~ { pi }, X ~ f ( x).
⎧ ∑∑ h( xi , y j ) pij , ( X , Y ) ~ { pij }, ⎪ i j ⎪ E[h( X )] = ∫ ∫ h( x, y )dF ( x, y ) = ⎨+ ∞+ ∞ − ∞− ∞ ⎪ ∫ ∫ h( x, y ) f ( x, y )dxdy , ( X , Y ) ~ f ( x, y ). ⎪ ⎩ − ∞− ∞
若X > 0 ⎧1 ⎪ Y = ⎨0 若X = 0 ⎪ ⎩− 1 若X < 0,
则方差 DY = _________.
【 8/9
】
例 33-3. 某寻呼台的来电呼唤时间 T（单位：小时）是一个随机变量，满足
⎧αe − λt + (1 − α )e − μt P(T > t ) = ⎨ 1 ⎩