13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差
一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．
解：(1) )4.22
1
3.1()8.416.2()8.56.1(<-≤
-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950
.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ (2) )78.12
1
78.2(1)56.4(1)56.4(<-<
--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=--
二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）
之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．
而)26
.0100
2()6.02.16.01006.02.1(
)2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p ．
三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度
3200
)20(22401)(--
=
x e
x f π
求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率． 解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为
}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次
因为)40,20(~2
N ξ，所以由事件的相互独立性，有
31,01,033)]25
.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(3
3
≈=--= 于是有
86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．
四、设随机变量),(~2
σμN X ，求随机变量函数X e Y =的概率密度（所得的概率分布称为对
数正态分布）．
解：由题设，知X 的概率密度为
)(21)(22)(+∞<<-∞=
--
x e
x f x X σμσ
π
从而可得随机变量Y 的分布函数为
)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．
当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ．
当0>y 时，有
dx e
y X P y F y
x Y ⎰∞
---
=
≤=ln 2)(2
221
)ln ()(σμσ
π．
此时亦有2
2)(ln 21)(σμσπ--
=
'y Y e
y
y F ．
从而可得随机变量Y 的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧>≤=--.
0,21;0,
0)(22
2)(ln y e y
y y f y Y σμσπ
五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~2
22σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z =2的数学期望与方差．
解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有
(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=；
2
2
2212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；
)()()()()()()()(2
2222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2
2
2
2
Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(2
2
X E Y D Y E X D Y D X D ++=
212
22
22
12
22
1μσμσσσ++=．
N （0,1）
则Y=X^2~卡方分布X^2(1) 所以EX^2=1
E(X^4)=DY+(EY)^2=2+1=3
E(X^5)=0.pdf 概率密度函数关于y 对称.
用定义求解而不是性质,X4次方当成一个g(x)函数,根据定义,E （X4次方）=积分符号g(x)f(x)dx,其中f(x)是标准正态分布的概率密度.用分部积分法求解,不过运算很麻烦.还有另一种解这种复杂积分的方法,用一个叫F （符号我打不出来）函数的性质解,前提你熟悉这个F 函数,在浙大教材P79有提过这个函数
因为 X 的均值为N ，方差为D ，
所以有 E(X^2)= D(X) +[E(X)]^2= D +N^2
令 Y = (X-N)/(D^0.5)，则Y 服从标准正态，即均值为0，方差为1。

则 E(Y^3) = 0 又
X = Y * D^0.5 +N
X^3 = [(Y*D^0.5) + N]^3 = Y^3 * D^1.5 + 3* Y^2 *D*N + 3*Y*N^2*D^0.5 + N^3 所以
E(X^3) = 3 *D*N E(Y^2) + N^3 = 3 DN + N^3。