0
1 , Y = 0 , − 1 ,
X >0; X = 0; X < 0.
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E[ g ( X )] = ∫ g ( x) f ( x)dx.
−∞
+∞
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§3.2 随机变量函数的数学期望
二维情形 若 ( X , Y )为二维离散随机变量， Z = g ( X , Y ) , 则 且
E[ g ( X , Y )] = ∑∑ g ( xi , y j ) p ( xi , y j )
X >0; X = 0; X < 0.
求 E (Y ) . 解：易知 X 的概率密度为
1, f ( x) = 3 0 ,
−1 ≤ x ≤ 2 ; 其它.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
于是
1 1 P (Y = −1) = P ( X < 0) = ∫ dx = ; −1 3 3 P(Y = 0) = P( X = 0) = 0 ; 21 2 P(Y = 1) = P( X > 0) = ∫0 dx = . 3 3 从而 1 2 1 E (Y ) = (−1) × + 0 × 0 + 1 × = . 3 3 3
（1） 设二维离散随机变量 ( X , Y )的联合概率函数为 p ( xi , y j ) , i = 1 ,2⋯ j = 1 ,2⋯ 则随机变量函数 g ( X , Y ) 的数学期望为
g E[g(X ,Y)]=∑∑ (xi , yj ) p(xi , yj ).
i j
（2） 设二维连续随机变量( X , Y ) 的联合概率密度为
1 π 2 = ∫ sin xdx = . π 0 π
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§3.2 随机变量函数的数学期望
说明： 也可以先求出Y = sin X 的概率密度
2 , 2 fY ( y ) = π 1 − y 0 ,
再计算数学期望
1
0 < y < 1; 其它.
= 2.30.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
（2）设连续随机变量 X的概率密度为 f (x) , 则随机变 量的函数 Y = g ( X ) 的数学期望定义为
. E(Y) = E[g(X)] = ∫ ∞g(x) f (x)dx −
注：假定这个反常积分是绝对收敛的.
i j
若 ( X , Y ) 为二维连续随机变量， Z = g ( X , Y ) ,则 且
E[ g ( X , Y )] = ∫
∫−∞ g ( x , y) f ( x , y)dxdy −∞
+∞ +∞
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§3.2 随机变量函数的数学期望
补充例题
第三章 随机变量的数字特征
§3.2 随机变量函数的数学期望
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§3.2 随机变量函数的数学期望
1.一维随机变量函数的数学期望 1.一维随机变量函数的数学期望
（1） 设离散随机变量 X 的概率分布为
X
X p ( xi )
x1 p ( x1 )
x2 p ( x2 )
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§3.2 随机变量函数的数学期望
另解： 另解：先求随机变量 Y = X 2的概率分布
Y = X2
0
1
4 0.25
9 0.10
p( y j )
于是数学期望
0.25 0.40
E (Y ) = 0 × 0.25 + 1× 0.40 + 4 × 0.25 + 9 × 0.10
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§3.2 随机变量函数的数学期望
小结
一维情形 若 X 为一维离散随机变量， Y = g ( X ) , 则 且
E ( g ( X )) = ∑ g ( xi ) p ( xi ).
i
若 X 为一维连续随机变量， Y = g ( X ) , 则 且
= ∫ x e dx + ∫ e
0 0
+∞
−x
+ ∞ −3 x
dx
1 1 4 = Γ(2) + = 1 + = . 3 3 3
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§3.2 随机变量函数的数学期望
[例2] 设随机变量 X在区间 [−1 ,2] 上服从均匀分布， 令
1 , Y = 0 , − 1 ,
⋯ ⋯
xn p ( xn )
⋯ ⋯
则随机变量 Y = g ( X ) 的可能值与取得这些值的概率 可列表如下：
Y
g ( x1 ) g ( x2 )
⋯ ⋯
i
g ( xn )
⋯ ⋯
p( y )
则
p ( x1 )
p ( x2 )
p( xn )
E(Y) = E[g(x)] =∑ (xi )p(xi ). g
X −2 −1 0 1 2 3 p ( xi ) 0.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10
求随机变量函数 Y = X 2的数学期望. 解：直接按公式计算
E (Y ) = (−2) 2 × 0.10 + (−1) 2 × 0.20 + 0 2 × 0.25
+ 12 × 0.20 + 2 2 × 0.15 + 32 × 0.10 = 2.30.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
说明： 说明 (1) 一般来说,上表不一定是 Y = g ( X ) 的概率分布 表， 但有了这个表格就可以计算 Y 的数学期望. 例如： 例如 设 g ( xi ) = g ( x j ) = yk , 则由加法定理有 P (Y = yk ) = p ( xi ) + p ( x j ), 此时 yk P (Y = yk ) = yk [ p ( xi ) + p ( y j )]
[例3]
设二维随机变量 ( X , Y )的联合概率密度为：
8 , 2 2 3 f ( x , y ) = π( x + y + 1) 0 , x ≥0,y ≥0; 其它.
求随机变量函数 Z = X 2 + Y 2 的数学期望. 解： E ( Z ) = E ( X 2 + Y 2 )
2 2 1 y 2 dy = ∫ dy = . E (Y ) = ∫0 y ⋅ 2 2 π 0 1− y π π 1− y
但这样麻烦， 从例1、例2 知： 计算随机变量函数的 数学期望不必求随机变量函数的分布.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
2.二维随机变量函数的数学期望 2.二维随机变量函数的数学期望
求 E ( X + e −2 X ) . [例1] 设 X 服从参数为1的指数分布, 解： 已知 X ~ e(1) , 则 X 的概率密度为
则
e − x , f ( x) = 0,
x >0; x ≤ 0.
E( X + e
−2 X
) = ∫ ( x + e −2 x ) e − x dx
0
+∞
=∫
+∞ +∞ 0
∫0
8 (x + y ) ⋅ dxdy 2 2 3 π( x + y + 1)
2 2
8 +∞ +∞ x 2 + y 2 = ∫ ∫ dxdy 2 2 3 π 0 0 ( x + y + 1) π +∞ 8 2 r2 = ∫ dθ ∫ rdr = 8 ⋅ π ⋅ 1 = 1. 0 0 ( r 2 + 1) 3 π π 2 4
= g ( xi ) p ( xi ) + g ( x j ) p ( x j ).
(2) 若 X的可能值为一个可数无穷集合时,公式的右 边为级数. 假定这个级数是绝对收敛的.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
[例1] 设随机变量 X 的概率分布为 例
f ( x , y ) , 则随机变量函数 g ( X , Y )的数学期望为
E[g(Xx , y)dxdy. −∞
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+∞ +∞
注：假定上面的级数与反常积分都是绝对收敛的.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
+∞
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§3.2 随机变量函数的数学期望
[例2] 设随机变量 X 在区间 [0 , π ] 上服从均匀分布， 例 求随机变量函数Y = sin X 的数学期望. 随机变量 X 的概率密度为 解： 1 , 0 ≤ x ≤ π; f ( x) = π 0 , 其它. 所以 π +∞ 1 E (Y ) = ∫−∞ sin xf ( x)dx = ∫0 sin x ⋅ π dx