抽象函数单调性和奇偶性1. 抽象函数的图像判断单调性例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是( )A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。

2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R 上的偶函数f (x)满足f (2)0=，并且f (x)在(,0)-∞上为增函数。

若(1)(a)0a f ->，则实数a 的取值范围 .二、抽象函数的单调性和奇偶性 1.证明单调性 例3．已知函数f(x)=1)(1)(+-x g x g ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. (m)(n)(m n)(m,n )g g g R =+∈ . 求证： f(x)是R 上的增函数.解:设x 1>x 2因为，g(x)是R 上的增函数, 且g(x)>0。

故g(x 1) > g(x 2) >0。

g(x 1)+1 > g(x 2)+1 >0，⇒1)(22+x g >1)(21+x g >0⇒1)(22+x g -1)(21+x g >0。

f(x 1)- f(x 2)=1)(1)(11+-x g x g - 1)(1)(22+-x g x g =1-1)(21+x g -(1-1)(22+x g )=1)(22+x g -1)(21+x g >0。

可以推出：f(x 1) >f(x 2)，所以f(x)是R 上的增函数。

例4．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数。

证明： 对一切x y R ，∈有f x y f x f y ()()()+=⋅。

且f ()00≠，令x y ==0，得f ()01=， 现设x >0，则-<x 0，f x ()->1，而f f x f x ()()()01=⋅-= ∴-=>f x f x ()()11 ∴<<01f x ()，设x x R 12，∈且x x 12<， 则0121<-<f x x ()，f x f x x x ()[()]2211=-+=-⋅<f x x f x f x ()()()2111 ∴>f x f x ()()12，即f x ()为减函数。

2.证明奇偶性例5．已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求证：f x ()是偶函数。

分析：在f xy f x f y ()()()=+中，令x y ==1，得f f f f ()()()()11110=+⇒= 令x y ==-1，得f f f f ()()()()11110=-+-⇒-=于是f x f x f f x f x ()()()()()-=-⋅=-+=11，故f x ()是偶函数。

三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

例6．已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。

解： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数， ∴f x ()在()-10，上是减函数，由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a 。

（1）当a =2时，f a f a f ()()()-=-=2402，不等式不成立。

（2）当32<<a 时，2342041021)4()4()2(2222<<⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-⇔-=-<-a a a a a a f a f a f 解之得，（3）当25<<a 时， f a f a ()()-<-242=-⇔<-<<-<-<-⎧⎨⎪⎩⎪<<f a a a a a a ()22240210412425解之得，，综上所述，所求a 的取值范围是()()3225，， 四、不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f ”，转化为代数不等式求解。

例7．已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集。

解：设x x R 12、∈且x x 12<， 则x x 210->， ∴->f x x ()212，则f x x ()2120-->，2211()[()]f x f x x x ∴=-+2111()()2()f x x f x f x =-+-> 21()()f x f x ∴>， 故f x ()为增函数， 又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=2(1)3(22)3(1)f f a a f ∴=∴--<=，2221a a --<即13a ∴-<< 因此不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13。

五、综合问题求解解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f ”。

例8.设函数y f x =()定义在R 上，当x >0时，f x ()>1，且对任意m n ，，有f m n f m f n ()()()+=⋅，当m n ≠时f m f n ()()≠。

（1）证明f ()01=； （2）证明：f x ()在R 上是增函数；（3）设{}A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221，B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10，若A B =∅，求a b c，，满足的条件。

解：（1）令m n ==0得f f f ()()()000=⋅， ∴=f ()00或f ()01=。

若f ()00=，当m ≠0时，有f m f m f ()()()+=⋅00，这与当m n ≠时，f m f n ()()≠矛盾， ∴=f ()01。

（2）设x x 12<，则x x 210->，由已知得f x x ()211->，因为x 10≥，f x ()11>，若x 10<时，->->x f x 1101，()，由f f x f x ()()()011=⋅- 111()0()f x f x ∴=>-，22111()()()()f x f x x f x f x =-⋅>()f x R ∴在上为增函数。

（3）由f x f y f ()()()221⋅<得x y 2211+<()f ax by c ()++=1得ax by c ++=0（2）从（1）、（2）中消去y 得()a b x acx c b 2222220+++-<，因为A B =∅ ∴=-+-<∆()()()24022222ac a b c b 即a b c 222+<。

例9. 已知(x)f 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =,若,[1,1]a b ∈-时，有()()0f a f b a b+>+.（1）判断函数(x)f 在[1,1]-上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f (x +21)＜f (11-x ).解：（1）设任意x 1,x 2∈［－1,1］,且x 1<x 2.由于f (x )是定义在[1,1]-上的奇函数，∴f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)+f (－x 1). 因为x 1<x 2,所以x 2+(－x 1)≠0, 由已知有)()()(1212x x x f x f -+-+＞0，∵x 2+(－x 1)=x 2－x 1>0∴f (x 2)+f (－x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1),所以函数f (x )在［－1，1］上是增函数.（2）由不等式f (x +21)＜f (11-x )得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x ,解得－1<x <0,即为所求.例10、已知设函数y f x =()定义在0x ≠的一切实数，对定义域的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当x 1>时(x)0f >，f (2)1=， （1） 求证：(x)(x)f f -=；（2）(x)f 在(0,)+∞上是增函数。

（3）解不等式22(x (3a 4)x 2a 8a 4)2f -++++<。