目录本内容适合七年级进八年级学生暑假提高使用。

重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。

本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，是学生提高数学水平的好资料。

另外，在本次培训中，我们适当安排了函数方面的内容，给学生以学习上的提前量，对培养学生的学习兴趣有一定的帮助。

本次暑假培训具体计划如下，以供参考：第一讲全等三角形辅助线作法与证明技巧第二讲实数第三讲一次函数与反比例函数第四讲整式的运算第五讲因式分解第六讲竞赛中质数合数第七讲数学竞赛中的不定方程第八讲竞赛中整除的基本性质第九讲2007年希望杯全国数学竞赛试题第十讲“希望杯’’全国数学邀请赛初二第2试第十一讲初二竞赛思维训练第十二讲逻辑推理问题第十三讲考试图论思想第十四讲试卷讲评归纳与枚举第一讲 全等三角形辅助线作法与证明技巧全等三角形辅助线作法与证明技巧： 一：基础巩固：1. △ABC 中, AB=5, AC=a , BC 边上的中线AD=4, 则a 的取值范围为 （ ） A. 35a << B. 39a << C. 310a << D. 313a <<2. 如图,在等腰△ABC 中, 顶角100BAC ∠=o,延长AB 到D,AD BC =,则BCD ∠= （ ）A. 10oB. 15oC. 20oD. 30o3. 如图,123∠=∠=∠,DE DF =,则下面结论一定成立的是 （ ）A. AE FC =B. AE DE =C. AE FC AC +=D. AD FC AB +=4. 在矩形ABCD 中 ,16,8AB BC ==,将矩形沿对角线AC 折叠, 点D 落在E 点处, 且CE 与AB 交于点F, 则AF = 。

5如图所示, 60,30ABC BCD AD BC ∠=∠=+=o,BD 平分ABC ∠,//AD BC ,则四边形ABCD 的周长是 。

6. 如图所示, 在△ABC 中, AB BC AD ==, 则α与β的关系是（ ）A. 90αβ+=oB. 2180αβ+=oC. 3180αβ-=oD. 3180αβ+=o7. 等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角等于（ ）A. 30oB. 30o 或150oC. 120o 或150oD. 30o 、120o 或150o8. 如图所示, 六边形ABCDEF 中, A B C D E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠, 且11,3AB BC FA CD +=-=, 则BC DE += 。

9. 在正五边形ABCDE 所在的平面内求一点P, 使得PCD V 与BCD V 面积相等, 且ABP V 是等腰三角形, 这样的P 点有 个。

奥赛之窗：中线倍长【例1】如图所示, 已知在△ABC中, AD是BC边上的中线, E是AD上一点, 且BE=AC, 延长BE交AC 于F, 求证: AF=EF.（CASIO杯数学竞赛试题）【例2】如图所示, 各边都相等的五边形ABCDE中, ∠ABC=2∠DBE, 求∠ABC.（2009世奥赛中国区总决赛）截长补短【例3】如图所示, 已知四边形ABCD中, AB=AD, ∠BAD=60°, ∠BCD=120°, 求证: BC+DC=AC. （希望杯全国联赛试题）【例4】如图所示, △ABC是边长为1的等边三角形, △BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形, 点M、N 分别在AB、AC上, 且∠MDN=60°，求证: △AMN的周长l为2.（华杯赛全国联赛试题）第二讲 实数一、课标要求1、通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。

了解算术平方根与平方根的区别与联系。

2、能用类比平方根的方法学习立方根,及开立方运算,并区分立方根与平方根的不同.3、通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数学结合”的数学思想。

4、学会比较两个实数的大小；二、基础夯实1、在Λ262262226.4,9,4.0,81,8,2,31,14.3---•π.）个之间依次多两个216(中、属于有理数的有 属于无理数的有 属于正实数的有属于负实数的有2、求下列各式的值:(1)-(3)（4）33001.0833+ （5）3216-（6）3327102112561---3、求满足下列各式的非负数x 的值: (1)169x 2=100 (2)x 2-3=0三、例题精讲例1、已知0＜x ＜1，那么在2,,1,x x xx 中最大的数是 最小的数是例2、34－的整数部分为a ，小数部分为b ，求ab的值.（保留3个有效数字）例3、已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的算术平方根是4，求b a 2+的平方根.例4、已知a ，b 为实数，且满足01)1(1=---+b b a ，则20092009b a-的值时多少？例5、计算下列各题（1)332442)4(3)34()5(---+--- ；(2)32143421920109991920102999个个）（⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ；(3) 199819983571998199899931537++•⎪⎭⎫ ⎝⎛四、课堂练习1、已知()0122=--+-+-c b a b a , 则22008c b a++的个位数字是 。

2、已知x ，y 满足xx x y 289161622---+-=，求xy 的平方根.3、已知a a a =-+-20092008，求22008-a 的值.第三讲 一次函数与反比例函数一、知识点精讲1、正确认识函数及其形式2、反比例函数的图象与性质3、反比例函数)0(≠=k xky 中的比例系数k 的几何意义二、一次函数例题精讲例1：一次函数n mx y -=的图象如图，则下面结论正确的是（ ） A 、0,0<<n mB 、0,0><n mC 、0,0>>n mD 、0,0<>n m例2：如图，直线AB 交x 轴于A ，交y 轴于B ，求直线AB 的函数解析式。

例3：设函数)5()3(752m x m y m m -+-=+-，当m 为何值时，它是一次函数？此时它的图象经过哪几个象限？画出函数图象来。

例4：已知一次函数k x y -=2的图象与反比例函数xk y 5+=的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为－4，求这两个函数的解析式。

例5：如图，A 、C 是函数xy 1=的图象上的任意两点，过A 点作x 轴的垂线， 垂足为B ；过C 点作y 轴的垂线，垂足为D ，记Rt △AOB 的面积为1S ，Rt △COD 的面积为2S ，则（ ） A 、21S S > B 、21S S =C 、21S S <D 、21S S 与的大小关系不能确定例6：函数a ax y +-=与)0(≠-=a xay 在同一坐标系中的图象可能是（ ）三、课堂练习1、若直线k x y +=3与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则常数k 的值是 。

2、直线b kx y +=经过一、二、四象限，那么直线k bx y +-=经过 象限。

3、当圆柱形罐头的体积为一定值)0(>m m 时，那么这个圆柱的高h 与圆柱的底面半径r 之间的函数关系是（ ）A 、正比例函数B 、一次函数C 、反比例函数D 、其他函数4：已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过（ ） A 、第一、二象限 B 、第二、三象限 C 、第三、四象限D 、第一、四象限5：如图，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上，且EB ＝10cm ，点P 在边DC 上运动，EP 与AB 的交点为F ，设DP ＝xcm ，△EFB 与四边形AFPD 的面积和为2ycm ， 那么，y 与x 之间的函数关系式是 _____________ （100<<x ）。

水，不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到时间x （分）与水量y （升）之间的关系如图所示。

（1）每分钟进水多少？（2）124≤≤x 时，x 与y 有何关系？（3）若12分钟后只放水，不进水，求y 的表达式。

7：A 市、B 市和C 市分别有某种机器10台、10台和8台，现在决定把这些机器支援给D 市18台，E 市10台，已知从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为200元和800元；从B 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为300元和700元；从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为400元和500元。

（1）设从A 市、B 市各调运x 台机器到D 市，当28台机器全部调运完毕后，求总运费W （元）关于x （台）的函数式，并求W 的最小值和最大值。

（2）设从A 市调x 台到D 市，B 市调y 台到D 市，当28台机器全部调运完毕后，用x 、y 表示总远费W （元），并求W 的最小值和最大值。

8、在直角坐标系中，有两点P （-1,1）和Q （3,3），M 是x 轴上的任意点，则使PM+PQ 的长度最小时，求M 点的坐标第四讲整式的运算一、知识点精讲整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析．正整数指数幂的运算法则：(1)a M· a n=a M+n；(2)(ab)n=a n b n；(3)(a M)n=a Mn；(4)a M÷a n=a M-n(a≠0，m＞n)；常用的乘法公式：(1)(a+b)(a+b)=a2-b2；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2；(4)(d±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．二、基础夯实1.填空：①a2+b2=(a+b)2－_________ ②(a+b)2=(a－b)2+_________③a3+b3=(a+b)3－3ab(______) ④a4+b4=(a2+b2)2－_________⑤a5+b5=(a+b)(a4+b4)－________ ⑥a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)－___________2.填空：①(x+y)(___________)=x4－y4②(x－y)(__________)=x4－y4③(x+y)( ___________)=x5+y5④（x－y）(__________)=x5－y5三、例题精讲例1. 己知x+y=a xy=b求①x2+y2②x3+y3③x4+y4例2 计算(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)．分析与解(1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．(2)(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4y2，这个结果与多项式x4-8x2y2+16y4相乘时，不能直接应用公式，但x 4-8x 2y 2+16y 4=(x 2-4y 2)2与前两个因式相乘的结果x2-4y2相乘时就可以利用立方差公式了．例3、己知 x 2－5x+m 能被x －2整除，求m 的值。