心中有“数”、数学不愁
---论自然数的“内表外衍”思想及在数学课程学习中的应用
梁治安
上海财经大学数学学院
摘要
大学生普遍感到数学课程难学。

但是，数学课程又不得不学。

所以，对数学课程任课教师来说，首要任务应该是告诉学生如何学习数学，如何才能学得轻松，想得深刻，用得灵活，得心应手，从而让学生对数学越来越感兴趣，步入数学学习的“正道”。

自然数对大家来说应该是再熟悉不过了，但是关于自然数的一些结果，了解或熟悉的人就不多，应用就更谈不上了，包括现在的大学生。

当问他（她）什么是自然数的算术基本定理时，知道者寥寥。

问他（她）什么是哥德巴赫猜想时，知其名不知其容。

我有一个粗浅的认识：自然数中有两个思想方法极其重要。

第一，自然数的内部表示问题，简称“内表”。

比如算术基本定理：大于1的自然数可以写成素数方幂的乘积；哥德巴赫猜想：任何大于6的偶数都可以写成两个奇素数之和。

这体现了一种基本的思想方法，即，在一个代数系统中，针对运算，确定简单元素，把一般元素用简单元素表示出来，这种思想方法，体现或反映在几乎所有的数学课程或生活中。

正如国际微分几何大师陈省身先生讲的一句话“其实，大家都可以享受数学思想，比如，把遇到的困难的事物尽可能地划分成许多小的部分，每一部分便容易解答…，人人都可以通过这种方法处理日常问题”。

第二，自然数的外衍问题，即，通过自然数做“商”得到新的数---有理数，也就是从一个代数系统得到一个新的代数系统。

这种通过“做商”的思想也普遍出现在数学课程中，比如，群关于正规子群的“商群”；环关于理想的“商环”；线性空间关于特殊子空间的“商空间”。

所以，如果学生熟悉自然数的这两个“内表”，“外衍”的数学思想方法，对学习数学课程具有很好的指导意义。

最直接的莫过于在学习高等代数时关于多项式的算术基本定理，其表述和证明方法类似于自然数的相应概念和结果的证明。

再比如，伽罗瓦在证明五次以上多项式方程没有通解公式时用到了可解群、商群和单群的概念和结论：一个群G 称为可解的，如果存在G 的子群序列121k k N N N N G ，其中1i i N N 表示i N 是1i N 的正规子群，满足
11, /,1,2,,i i N N N i k ，是单群。

那么，起码从形式上，我们是不是也可以与自然数做一个类比：这里我们用自然数、完全商数和素数来对应上面的三个概念：每一个合数n （对应群）有一个最大的因素1n （对应正规子群），使得11/p n n 是素数（对应单群），同样，
如果1n 仍然是合数，有一个最大因素2n ，使得212/p n n 是素数。

依次类推，可
以得到一列自然数：012,,,,k n n n n n 使得11/i i i n n p 是素数（对应单群），
0,1,,i k 。

我们说n “可解的”。

伽罗瓦当年（19世纪）用多项式方程的解的置换群的可解性判断它是否有通解公式有没有受到自然数的这种启发，不得而知，但是我们可以看出，它们确实有类同的处理问题的思想方法。

我们可以在几乎所有的数学课程中遇到这种“内表外衍”的思想方法，有些结果的证明，特别是抽象代数中的一些结果的描述和证明完全类似于自然数中相应的知识，所以，如能对自然数的知识熟记于心，在其他数学课程中遇到相应的东西不妨试着自证。

本文将展示几乎所有数学主干课程和金融数学课程中体现内表外衍思想的概念与结论。