“平方差公式的概念”教学案例及评析【摘要】初中数学课的教学应结合具体的数学内容采用“创设问题情境、建立知识的模型”的模式展开. 特别对于抽象的概念教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服记忆概念的学习方式. 本文以“平方差公式的概念”为例，阐述如何“创设问题情境、建立知识的模型”的过程.
【关键词】初中数学；教学案例；过程；评析
一、教学过程
师：我们已经学过了多项式的乘法，哪个小组能告诉我，“两个二项式相乘，在合并同类项之前应该有几项？”
生a（抢答）：我认为应该有四项.
师：我也同意a同学的说法（教师给这个小组加上一颗五角星）.
但不知同学们有没有注意到我刚才说的是合并同类项之前，那么在合并同类项之后会出现什么情况呢？
（教师多媒体给出问题串：两个二项式相乘，在没有合并同类项之后，有没有只有三项的？有没有只有两项的？举例说明. 独立完成后，今天的小组长组织小组成员交流，记录员把各成员的结果以自己的方式记在记录本上）
……
师：哪个组来回答？（话一说完就有很多组的同学站了起来，最后决定用剪刀石头布的方式来确定哪个组来回答）
生b：我回答第一个问题，我组分别写出了以下四种情况.（通
过实物投影展示，接着又有几个组的同学把结果通过实物投影仪展示出来，教师对学生的回答进行及时有效的评价，并对相应的组打上星）
生c：我回答第二个问题，我们组写出了以下四种情况：
1. （x + 1）（x - 1） = x2 - x + x - 1 = x2 - 1；
2. （x + 2）（x - 2） = x2 - 2x + 2x - 4 = x2 - 4；
3. （x + y）（x - y） = x2 - xy + xy - y2 = x2 - y2；
4. （x - 3）（x + 3） = x2 + 3x - 3x - 9 = x2 - 9.
（通过实物投影展示，接着又有几个组的同学把结果通过实物投影仪展示出来，教师对学生的回答进行及时有效的评价，并对相应的组打上星）
……
师：从上面的例子可以看出两个二项式相乘，合并同类项后积可以是二项式，那么具备什么样的特征时积才会是二项式呢？它们的积有什么特征？（媒体给出问题串，要求学生独立完成后，小组长组织小组成员交流，记录员把各成员的结果以自己的方式记在记录本上）
……
生d：我们组交流后，认为两个因式的两项中分别有一项相同，而另一项互为相反数，积一定是二项式.
生e：我们组交流后认为，当乘式是两个数之和以及这两数之差相乘时积一定是二项式.
师：我也同意他们的意见. 他们从不同的角度分析了乘式的特征，用两数和及这两数的差表达乘式的特征既简单又确切（教师给这两组打上星）. 那么它们的积有什么特征呢？
生g：积等于乘式中这两数的平方差.
师：我也同意他们的意见. 这组同学特别是用了“这两个数”四个字实在是太好了，说明他观察得很仔细，表达也很贴切（教师给这组打上一颗星）.
师：我们再看一下，为什么具备以上特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？
生f：具备这样特点的两个二项式相乘时，积的四项中会出现互为相反数的两项，而这两项合并后为零，所以就剩下两项了.
师：很好，假如我们用a，b来表示这两个数，你能用这两个字母表达出刚才我们所说的等式吗？
生h：（a - b）（a + b） = a2 - b2.
师：非常好，这就是我们今天要学习的平方差公式.
师：你们能算出下面两图中第ⅰ块和第ⅲ块的面积之和吗？（几何画板给出）
二、案例评析
1. 设置疑问，引入课题
鲁宾斯坦说过，思维通常总是开始于疑问或者问题，开始于惊奇或者疑惑，开始于矛盾. 适当的悬念，巧布某种卡壳，引起学生的好奇，能激发学生的学习兴趣和动机，而学习兴趣能使学生的主
动性积极性剧增，产生良好的效果. 本案例将“两个二项式相乘，积可能有几项”的问题作为课题引入，目的是激发学生的学习兴趣.
2. 突出了数学课堂教学中的探索性
通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出为什么有的两个二项式相乘其积为两项，因为其中两项是两个数的平方差，而另两项恰是相反数，合并同类项时为零. 让学生经历前人发现这个概念的“浓缩”过程，让学生尝到了成功的喜悦，激发了学生发现思维的火花. 从而培养了学生的观察、概括能力，发展学生的符号感和推理能力；
3. 引进了计算机（“几何画板”）技术
通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，目的是使学生对此公式有一个更直观的认识.
4. 恰当地处理自主、探究、合作的关系
自主探究合作学习是新课程改革中追求的一种学习方法，但合作学习必须建立在学生的独立探索的基础上，否则合作学习将会流于形式，不能起到应有的效果，所以我在上课时强调学生先独立思考，再由当天的小组长组织进行，并由当天的记录员记录小组成员的活动情况.
5. 把竞争机制引入课堂，同时进行恰当地评价
让学生在合作中学习，在竞争中收获，及时对各小组的发言进行恰当地评价，能调节课堂的气氛，同时也是时代对我们的要求.
6. 充分发挥课堂教学的民主
在课堂教学中多次用到“你们同意吗？”、“我同意”的话语，让学生体验到他们才是学习的主人，教师是他们平等的合作者.。