2012年浙江省高考数学(理科)试卷(含答案)2012年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所在试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。
1．设集合{}|14A x x =<<，集合{}2|230B x x x =--≤，则()RA CB ⋂=A ．(14)，B ．(34)，C ．(13)，D ．(12)(34)⋃，，2．已知i 是虚数单位，则31i i+=- A ．12i - B ．2i - C ．2i + D ．12i + 3．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．把函数cos21=+的图像上所有点的横坐标伸长y x到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是5．设a，b是两个非零向量A．若||||||a b a b，则⊥a b+=-B．若⊥a b，则||||||a b a b+=-C．若||||||a b a b，则存在实数λ，使得λ=b a+=-D．若存在实数λ，使得λ=b a，则||||||a b a b+=-6．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种B．63种C．65种 D ．66种7．设nS 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}na 的前n 项和，则下列命题错误．．的是 A ．若0d <，则数列{}nS 有最大项B ．若数列{}nS 有最大项，则0d <C ．若数列{}nS 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0nS>D ．若对任意*n N ∈，均有0nS >，则数列{}nS 是递增数列8．如图，1F ，2F 分别是双曲线C ：22221(0)x y a b a b-=>，的左、右两焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M．若112||||MF F F =，则C 的离心率是A ．3 B ．2C ．D9．设0a >，0b > A ．若2223ab a b+=+，则a b > B ．2223ab a b+=+若，则a b < C ．若2223ab a b-=-，则a b > D ．若2223a b a b-=-，则a b <10．已知矩形ABCD ，1AB =，BC =ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD”，“AD 与BC ”均不垂直非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥 的体积等于3cm ．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ．13．设公比为(0)q q >的等比数列{}na 的前n 项和为nS ．若2232Sa =+，4432Sa =+，则q = ．14．若将函数5()f x x =表示为2345012345()(1)(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x a x =++++++++++++，其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a = ． 15．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =， 则AB BC ⋅=u u u r u u u r．16．定义：曲线C 上的点到直线的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线1C ：2y xa=+到直线l ：y x =的距离等于曲线2C ：22(4)2xy ++=到直线l ：y x =的距离，则实数a =．17．设a R ∈，若0x >时均有()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦，则a = ．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2cos 3A =，sin 5cos B C=．（Ⅰ）求tan C 的值；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆的面积．19．（本题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和． （Ⅰ）求X 的分布列； （Ⅱ）求X 的数学期望()E X ．20．（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为23的菱形，120BAD∠=︒，且PA⊥平面ABCD，26PA=，M，N分别为PB，PD的中点．（Ⅰ）证明：MN⊥平面ABCD；（Ⅱ）过点A作AQ PC⊥，垂足为点Q，求二面角A MN Q--的平面角的余弦值．21．（本题满分15分）如图，椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P的距离为10，不．过原点．．．O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求ABP∆面积取最大值时直线l的方程．22．（本题满分14分）已知0a>，b R∈，函数3()42f x ax bx a b=--+．（Ⅰ）证明：当01x≤≤时，（i）函数()f x的最大值为|2|a b a-+；（ii）()|2|0f x a b a+-+≥；（Ⅱ）若1()1f x -≤≤对[01]x ∈，恒成立，求a b +的取值范围．数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。
每小题5分，满分50分。
1．B 2．D 3．A 4．A 5．C6．D 7．C 8．B 9．A 10．B二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。
每小题4分，满分28分。
11．1 12．1120 13．32 14．10 15．-16 16．94 17．32三、解答题：本题共小题，满分72分。
18．本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
（Ⅰ）因为0A π<<，2cos 3A =，得sin 3A ==又sin sin()C B A C ==+sin cos cos sin A C A C =+2cos sin 33C C =+所以tan C =（Ⅱ）由tan C =，得sin C =，cos C =于是sin B C ==．由a =sin sin a cA C=，得c =设ABC ∆的面积为S ，则1sin 22S ac B ==．19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。
满分14分。
（Ⅰ）由题意得X 取3，4，5，6，且 35395(3)42C P X C ===， 12453910(4)21C C P X C ⋅===，2245395(5)14C C P X C ⋅===，44391(6)21C P X C ===．所以X 的分布列为（Ⅱ）由（Ⅰ）知13()3(3)4(4)5(5)6(6)3E X P X P X P X P X =⋅=+⋅=+⋅=+⋅==．20．本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想像能力和运算求解能力。
满分15分。
（Ⅰ）因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MN 是PBD ∆的中位线，所以//MM BD 又因为MN ⊄平面ABCD ，所以 //MM 平面ABCD ．（Ⅱ）方法一：连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，得AC AB ==6BD ==．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AC⊥．在直角PAC ∆中，AC =PA =，AQ PC ⊥，得2QC =，4PQ =．由此知各点坐标如下，(0,0)A ，(0,3,0)B -，0,0)C ，(0,3,0)D ，(0,P，3(,,22M --，3(,,22N -，,0,33Q ． 设(,,)x y z =m 为平面AMN 的法向量．由3,,22AM =-u u u u r，3(,,22AN =u u u r 知30223022x y x y -=⎪⎪⎪+=⎪⎩取1x =-，得,0,1)=-m设(,,)x y z =n 为平面QMN 的法向量．由3(,,2QM =-u u u u r，3(,,2QN =u u u r 知30623302x y z x y z ⎧--+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩取5z =，得,0,5)=n于是cos ,|||⋅<>==⋅m n m n m n |．所以二面角A MN Q --的平面角的余弦值．方法二：在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，得AC AB BC DA===，BD =，有因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB⊥，PA AC ⊥，PA AD ⊥，所以PB PC PD ==． 所以PBC PDC ∆≅∆．而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MQ NQ=，且1122AM PB PD AN ===． 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ，则AE MN⊥，QE MN ⊥，所以AEQ ∠为二面角A MN Q --的平面角． 由AB =PA =，故在AMN ∆中，3AM AN ==，132MN BD ==，得2AE =．在直角PAC ∆中，AQ PC ⊥，得AQ =2QG =，4PQ =，在PBC ∆中，2225cos 26PB PC BC BPC PB PC +-∠==⋅，得MQ ==在等腰MQN ∆中，MQ NQ ==3MN =，得2QE ==．在AEQ ∆中，AE =，2QE =，AQ =222cos 2AE QE AQ AEQ AE QE +-∠==⋅．所以二面角A MN Q --的平面角的余弦值．21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解体能力。