二、单位反馈系统稳态误差的计算
误差本身是时间 的函数，在时间域中以 表示。因此，控制系统稳态误差实质上是误差信号的稳态分量，即当时间 趋于无穷时 的极限存在，则稳态误差为
因此，可以利用终值定理求取系统的稳态误差，即
(3-41)
这样计算稳态误差比求解系统的误差响应e(t)要简单得多。
终值定理使用条件是 的拉氏变换式 在［s］平面的右半平面和虚轴上(坐标原点除外)必须解析，即 的全部极点都必须分布在［s］平面的左半平面。
系为 ，所以系统误差为
(3-40b)
显然，在非单位反馈系统中，误差与偏差是有差别的。由图3-36(b)和式(3-40b)不难看出，它们之间存在如下简单关系
(3-40c)
所谓稳态误差，是指系统在趋于稳态后的输出希望值 和实际输出的稳态值 之差，即
下面举二个例子说明稳态误差究竟是如何产生的?它与哪些因素有关?
(2)一型系统( )
则有
则有
； ；
显然，一型系统对阶跃输入是不存在稳态误差，而对斜坡输入有一定的常值稳态误差，对加速度输入以及更高阶次的输入稳态误差为无穷大。其曲线如图3-41所示。
(3)二型系统( )
则有
因此 ； ；
显然，二型系统对阶跃和斜坡输入的稳态误差都为零，而对加速度输入有稳态误差。 的大小反映系统跟踪等加速度输入信号的能力。 越大，稳态误差越小，精度越高。
对于扰动作用下的稳态误差，同样可以采用终值定理计算。系统典型结构图如图3－45所示。假定系统无输入作用，只有扰动N(s)作用在系统上。这时，系统输出的希望值为零，而实际输出值为
因此，扰动作用下系统的误差为
利用终值定理得
(3-48)
假定图3-45所示系统中，已知
【例3-7】如图3-43所示系统，若已知输入信号 。试求系统的稳态误差。
解首先，判别系统的稳定性，系统闭环特征方程为
展开整理得
根据代数判据，可知系统稳定的条件： ，即 、 、 和 均应大于零； ,即 ，因此要求 。
其次，根据计算稳态误差的公式，可以直接求出系统的稳态误差。
由图3－43可知，系统为单位反馈系统，系统的偏差即为误差；系统开环传递函数中有二个积分环节，即为二型系统。因此，由表3－3可知：
当 时，开环传递函数中有二、三、…个积分环节，称为二型、三型、…等系统。
2．系统的类型和误差系数
(1)零型系统( )
则有
； ；
可见零型系统，只有位置误差是有限值，速度和加速度误差均为无穷大。因此，在阶跃输入下，若系统允许存在一定的稳态误差时，可以采用零型系统。如果对阶跃输入，希望稳态误差为零，则零型系统无法满足要求。
在表3-3中，列出了最小相位系统的类型、静态误差系数及稳态误差与输入信号之间的关系。
由表可见：
(1)在对角线上(如表中虚线所示)，静态误差系数均为系统开环增益 ；对角线以上的静态误差系数为零；对角线以下为无穷大。对应的稳态误差 栏对角线上均为有限常值，且与系统开环增益成反比，与系统输入量大小成正比。而在稳态误差栏对角线以上 为无穷大；在对角线以下为零。
当然，还可以利用误差与偏差之间的关系式(3-40c)
进行计算。首先计算出偏差，然后再换算成误差。仍以图3-44系统为例计算如下：
由图3-44得偏差信号的拉氏变换式
利用终值定理代入上述已知条件，计算稳态偏差
最后得系统稳态误差(已知 )； 。
显然，二种计算方法结果是相同的。
四、干扰作用下的稳态误差
由于控制系统经常处于各种扰动作用之下，如负载的变动，电源电压波动及系统工作环境温度、湿度的变化等等。因此，系统在扰动作用下的稳态误差大小就反映了系统抗扰动的能力。在理想情况下，总希望系统对任何扰动作用的稳态误差为零。但实际上，这是不可能做到的。
将 写成典型环节形式，即(2-52)式
对上式①取
对照式(3-44a～c)，清楚地表明，静态误差系数只与开环传递函数中的积分环节、放大系数有关，而与时间常数无关，为了能更方便地说明问题，根据系统开环传递函数中所包含积分环节的数目将控制系统分成不同类型：
当 时，开环传递函数中无积分环节，称为零型系统。
当 时，开环传递函数中有一个积分环节，称为一型系统。
由式(3-45a～c)可知， 、 和 的大小，分别反映了系统在阶跃、斜坡和加速度输入作用下系统的稳态精度及跟踪典型输入信号的能力。静态误差系数越大，稳态误差越小，跟踪精度越高。
总之，静态误差系数 、 和 均是从系统本身的结构特征上体现了系统消除稳态误差的能力，它反映了系统跟踪典型输入信号的精度。
根据静态误差系数的定义可知，它们与系统开环传递函数 有关，因此稳态误差还与系统结构形式及参数有关。
系统带上恒值负载后情况如何呢?负载加入后使发电机的输出电压 下降，因此 ， ， 的出现就会重复上述过程，使电动机转动电刷增加激磁电压，直至 时电机才停止转动，此时 回到零。可见，系统不论负载如何改变，在稳态时系统的稳态误差总为零。
综上所述，系统的稳态误差，不仅与外作用形式、大小有关，并且还与系统结构、结构参量有关。
当输入 时，
当输入 时，
当输入 时，
所以，系统在 输入下的稳态误差为
应当指出：系统必须是稳定的，否则计算稳态误差没有意义。
三、非单位反馈系统稳态误差的计算
非单位反馈系统如图3-44所示。根据系统误差的定义式(3-40b)，即
由于
因此
(3-46)
同样可利用终值定理计算稳态误差，则
(3-47)
假定系统输入信号为 ，其单位为弧度； ； ，将上述已知条件代入式(3-47)，求得非单位反馈系统在阶跃输入下的稳态误差
由上可知，利用终值定理求稳态误差，实质问题归结为求误差 的拉氏变换式 。
图3-39为一个单位反馈系统。由于单位反馈系统的误差与偏差相同，因此，其误差 直接可以从系统偏差传递函数 中得到，即
则有 (3-42)
1．利用终值定理可求得不同输入函数下的稳态误差
(1)阶跃输入 · 时( 表示阶跃量大小的常值)，则 ，由式(3-41)和(3-42)，得
为什么在开环系统中串入积分环节能使有差系统变成无差系统呢?这要从积分环节的输入输出特性上得到解释。理想积分环节的输出等于输入对时间的积分。如图3-42所示，当输入不为零时，输出将不断变化。只有当输入为零时，输出才保持某一常值不变。此常值为“不定值”，其具体数值由输入为零前的工作情况所决定。由于积分环节的上述特性，即可理解，为什么在开环传递函数中包含有串联积分环节时，在阶跃函数作用下就不会存在恒定的误差。同时，也可以说明，如果输入信号变化复杂，或者为正负交变的信号，那么积分环节再多也不解决问题了。
这充分说明了，静态误差系数越大，稳态误差越小，系统跟踪输入信号的能力越强，跟踪精度越高。所以误差系数 、 和 均是系统本身从结构特征上体现了消除稳态误差的能力。
(2) ，即零型系统，对三种典型输入均有差，故又称作有差系统。一型系统( )，对阶跃输入信号为无差，而对斜坡和加速度输入为有差，故称一阶无差系统。二型系统( )，对阶跃和斜坡输入均为无差，而对加速度输入为有差，故称二阶无差系统。可见，系统类型越高，系统稳态无差度越高。因此，从稳态准确度的要求上讲，积分环节似乎越多越好，但这要受系统稳定性的限制。因而实际系统一般不超过二个积分环节。
先看一下系统在空载时消除稳态误差的物理过程。假定 ,则 ， 经过放大器放大后加到电机上使电机转动，电机轴的转动就带动电位器电刷转动，从而改变了激磁电压。激磁电压应该向减小的方向变化，这样才能使发电机的电压 减小。总之，只要 ， 就存在，电机总要转动电刷改变 ，使 趋于 ，直到 时电机才停止转动，系统进入平衡状态，此时 ，这就表明系统在空载时稳态误差等于零。
(3-43a)
(2)斜坡输入 · 时( 表示输入信号的速度)，则 ，由式(3-41其中 为加速度)，则
由式(3-41)和(3-42)，得
(343c)
由式(3-43a～c)可见，稳态误差与输入函数大小成正比。同时与系统开环传递函数 有关。我们定义
3-7稳态误差分析
控制系统在输入信号作用下，其输出信号中将含有两个分量。其中一个分量是暂态分量。它反映控制系统的动态性能，是控制系统的重要特性之一。对于稳定的系统，暂态分量随着时间的增长而逐渐消失，最终将趋于零。另一个分量称为稳态分量。它反映控制系统跟踪输入信号或抑制扰动信号的能力和准确度，它是控制系统的另一个重要特性。对于稳定的系统来说，稳态性能的优劣一般是根据系统反应某些典型输入信号的稳态误差来评价的。因此，本节着重建立有关稳态误差的概念。
1．随动系统如图1-7所示随动系统，要求输出角 以一定精度跟踪输入角 ，显然这时输出的希望值就是系统的输入角度。故这个随动系统的偏差就是系统的误差。
若系统在平衡状态下， ，即 ， ，电机不转。假定在 时，输入轴突然转过某一角度 ,如图3-37(a)所示。由于系统有“惯性”，输出不可能立即跟上输入 ，于是出现误差，此时 ，相应的 ，电机就要开始转动，使输出轴跟随输入轴转动，直到 , ， 时为止。此时电机停止转动，系统进入新的平衡状态。可见，在这种情况下，系统将不产生稳态误差。如图3-37(a)所示。
假定输入轴作等速转动(斜坡输入)，如图3-37(b)所示。显然，这时输出轴仍将跟随输入轴转动。而且，当瞬态过程结束，系统进入新的稳态后，输出轴的转速将等于输入轴的转速，即 ,但是 ，即 ，如图3-37（b）中所示。原因如下：要电机作等速转动，就一定要求其输入端有一定的电压 ，因此放大器的输入电压 也必不为零，所以 也就不为零。其次，假如输入速度增加(其余情况保持不变)，那么维持电机转动的电压亦应增加，因此相应的 和 也增加（图3-37（c））。由此可知，稳态误差将随着输入轴转速的增加而加大。
一、误差和稳态误差
设 是控制系统输出(被控量)的希望值， 是控制系统的实际输出值。我们定义系统输出的希望值与输出的实际值之差为控制系统的误差，记作 ,即