16
一般位置平面
b
a
B
b
b a
b
a
c
c
A
a
b
C c
b
a
c
c
a
投影特性
1 、 abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形
2 、 不反映、、 的真实角度
17
三、平面上的直线和点
⒈ 平面上取任意直线
判断直线在平 面内的方法
定 理一
若一直线过平面 上的两点，则此 直线必在该平面 内。
定 理二
若一直线过平面上的 一点，且平行于该平 面上的另一直线，则 此直线在该平面内。
平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直
的直径的投影；
30
5.3直线与平面及两平面的相对位置
相对位置包括平行、相交和垂直。
一、平行问题
包 括
⒈ 直线与平面平行
直线与平面平行 平面与平面平行
定理：
若一直线平行于平面上的某一直 线，则该直线与此平面必相互平行。
31
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面，倾 斜于另两个投影面
平行于某一投影面，垂 直于另两个投影面
投影面垂直面 特殊位置平面 投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
5
1） 投影面垂直面
铅垂面
正垂面
侧垂面
6
铅垂面
V P B
c a
b
W
c a
c
1、 abc、 abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性
2 、 水平投影abc反映 ABC实形
12
正平面
V
b
b
b
a
B
b
c
W
A a
c
a
a
c
C
c
c
投影特性：H
b
a
c
ba
1、abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性
2 、正平面投影abc反映 ABC实形
13
侧平面bVc来自Bba
b a
b
W c
c
a
A
b
A a
a b
H
C PH c
投影特性：1、 abc积聚为一条线
c
b
2 、 abc、 abc为ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小 7
正垂面
V
b
QV
a
A
c
C
b c
a α
W B
c
Q
a
b c
a
H
投影特性：1、 abc 积聚为一条线
b
2 、 abc、abc ABC的类似形 8
18
19
例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任 作一条直线。
解法一
根据定理一
b
m a
n c
解法二
a
根据定理二
d b
c
mb a
b d
a
n c 有多少解？
c
有无数解。 20
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距 离为10mm。
10
a 有多少解？
m
n
c 唯一解！
b
b
c
n
m
a
21
b
e d c
a
c a
e
d
24
b
例3：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。
解法一
b
解法二 b
a
k
c a
c
d
d
d
d
a
k
ca
c
b
b
25
3、平面上的投影面平行线 一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行
线，不存在投影面垂直线。
26
27
例题 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的
⒉ 平面上取点
22
面上取点的方法： 首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线， 然后再在该直线上确定点的位置。
例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
① a
b
k●
c
②
b d
●k
c
a’
a
●
k
b
c
利用平面的积聚性求解
b
d
a
●k
c 通过在面内作辅助线求解
23
例题2 已知 ABC给定一平面，试判断点D是 否属于该平面。
5.1 平面的投影
一、平面的表示法
1、用几何元素表示平面
c
●
c
●
a●
a●
a●
● b
● b
●b
●b
a●
a●
a●
● c
● c
c
●
● b ●b
●c
d a●
●
●
d
a●
c ● a●
● b ●b
a●
●c
c
●
● b ●b
●c
不在同一 直线上的 三个点
直线及线 外一点
两平行直线
两相交直线 平面图形
1
2
2、平面的迹线表示法
V
PV
P
H PH
V
QV
Q H QH
PV
PH QV
QH
3
二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
倾斜
投 影特性
★ 平面平行投影面-----投影就把实形现
★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线
★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面
实形性 积聚性
类似性
4
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性
3 、 abc与OX、 OZ的夹角反映α、 角的真实大小
侧垂面
b
V
S B
SW
b
a
W
b c β c
α a
c
b
C
a
c
A
H
a
投影特性：1、 abc积聚为一条线
2 、 abc、 abc为 ABC的类似形
3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小9
类为似什么性？
是什么位置 的平面？ a
积聚性
有多少解？ b
c m
a
●
b
a
●m
c
有无数解
n
n
32
例2：过M点作直线MN平行于V面和平 面ABC。
正平线
b
cm n
a
●
c a
m●
n
b
唯一解
33
例题3
d
试判断直线AB是否平行于定平面
c
b
g
f
a
e
e f d
a
g c
结论：直线AB不平行于定平面
b
34
⒉两平面平行 b
① 若一平面上的两相交直
a
线对应平行于另一平面上
γ
投影特性： a
b
b
类似性
c c
βc b
a
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该 直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影 面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
10
2） 投影面平行面
水平面
正平面
侧平面
11
水平面
V
a b c b a c
a
b c
b
AB
a W
c
C
b
b
a
a
c
投影特性： H
正平线，过点A作属于该平面 的水平线。
b
m
a
n
b m
c
n c
28
a
例：在平面ABC上取一点K，使点K在点A之下 15mm、在点A之前20mm处。
29
5.2 圆的投影
圆的投影特性：
1、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；
2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆 的直径；
3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的
a
a
a bC
b
c
投影特性： H c
c
1、 abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性
2 、 侧平面投影abc 反映 ABC实形
14
积聚性
积聚性
a b c a c b
a
实形性
c
b
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
水平面
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行 的直线。
15
3） 一般位置平面
的两相交直线，则这两平
面相互平行。
a
c d
c d
b
b d
② 若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有积聚
a c
e
性的那组投影必相互平行。
d
b
ac
e
e f
f e
f h
h f
35
例题1 试判断两平面是否平行
a
f
s
b
n
r
e
m c
c m
d
n a d
e s
r
f
b
结论：两平面平行