文献综述数列、函数上下极限的性质及其应用一、前言部分极限的概念是数学分析中最基本的概念之一,也是高等数学中的一个最重要的理论部分.极限思想在数学中起着非常重要的作用.数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果.” 极限思想 揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。

借助极限思想,人们可以从有限认识无限,从直线形认识曲线形从不变认识变,从量变认识质变,从近似认识精确.极限思想是社会实践的产物.极限的思想可以追溯到古代,在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽.但从现在的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数 学上,当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题.直到公元3世纪，我国魏晋时期的数学 家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”．由于他所采用的圆的半径为1,这样 圆的面积在数值上即等于圆周率,所说刘徽成功地创立了科学的求圆周率的方法.刘徽采用的具体做法是:在半径为一尺的圆内,作圆的内接正六边形,然后逐渐倍增边数,依次算出内接正6边形、正12边形、… 、直至562⨯(192)边形的面积。

他利用公式22n n r l s n ⋅=⋅(n l 为内接正n 边形的边长，2n s 为内接2n 边形的面积)来求正多边形的面积.他的极限思想是“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失”.第一个创造性地将极限思想应用到数学领域.这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础.刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用:古希腊人的穷竭 法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明．到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观运用极限思想思考问题 ，放弃 了归谬法的证明.如此,他在无意中将极限发展成为一个实用概念．从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。

尽管极限概念被明确提出，可是它仍然过于直观，与数学上追求严密的原则相抵触.到18世纪时，罗宾斯、达朗贝尔与罗伊里艾等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础，并且都对极限做出了定义.其中达朗贝尔的定义是:“一个量是另一个量的极限,假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量.”它接近于极限的正确定义.然而,这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖.事情也只能如此,因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上的.然而他们仍然没有摆脱对几何直观的依赖.直至19世纪，维尔斯特拉斯提出了极限的静态定义.在这一静态定义中，“无限”“接近”等字眼消失了，取而代之的是数字及其大小关系.它的“ε－N”定义远没有建立在运动和直观基础上的描述性定义易于理解.这也体现出了数学概念的抽象性，越抽象越远离原型，然而越能精确地反映原型的本质.回顾国内外学者的讨论，结合理论分析本文认为：极限概念及性质由直观到严谨的生成历史是漫长的，这说明概念及性质本身具有高度抽象性；概念及性质具备复杂的逻辑结构；概念及性质蕴涵的丰富辩证思想加剧概念的抽象程度；概念及性质的多级抽象关系包含众多不易掌握的抽象概念，并需要用到原来认知结构中的许多固着点，要求学生原概念及性质的结构掌握应非常优良.极限思想也是社会实践的产物，最终应用到社会实践也是其发展的必然.但毋庸讳言，数学应用问题教育本质上的徘徊局面依然存在，学生解决数学应用问题的状况并无多大改善，教学效果仍不尽人意。

上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数收敛性的判别法的重要作用，成为数学分析中重要的理论部分.此外，由于上下极限的引入，使得极限多了一条判别定理，对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路，都有着重要的意义.上、下极限的应用能使对极限问题的分析更加细致深入.正确地理解和认识数列、函数的上、下极限，有利于更好地认清数列、函数尤其是非收敛数列、函数的内部结构形态.上、下极限的概念在许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用.因此，我们有必要对已有文献关于数列、函数的上、下极限的定义及相关理论的研究结果做一个综述总结，借此加深我们对数学分析、实变函数等所学课程内容的理解，深刻掌握其理论的应用，更好地培养自己的的创新思维. 二、主题部分数列、函数的上、下极限与数列、函数的极限是密切相关的概念，许多学者进行了较为深入的研究，并已取得大量的较为丰富的结果，现将已有文献的研究结果综述如下：文献[1-2]中给出了数列的上、下极限的基本定义以及几个等价定义和一些性质。

其主要定义如下：定义1 有界数列｛n x ｝的最大聚点A 与A 最小聚点分别称为有界数列｛n x ｝的上极限与下极限，记作：A =lim n n x →∞，A =lim n n x →∞. 定义 2 对于有界数列｛n x ｝，它的所有子列的极限所组成的数集的最大值称为此数列的上极限，最小值称为此数列的下极限.定义 3 对于有界数列｛n x ｝，去掉它的最初k 项以后，剩下来的仍旧是一个有界数列，记这个数列的上确界为k β,下确界为k α,亦即k β=1sup{}sup{,,}n k k i n k x x x ++>=,k α=1inf{}inf{,,}n k k i n k x x x ++>=,1,2,3,k =,于是得到数列｛k β｝和数列｛k α｝，显然数列｛k β｝是单调减少的，｛k α｝是单调增加的，所以这两个数列极限都存在，称｛k β｝的极限是｛n x ｝的上极限，记作H ，称｛k α｝的极限是｛n x ｝的下极限，记作h .也就是: lim lim sup{}n n n k n kH x x →∞→∞>==, lim liminf{}n n k n kn h x x →∞>→∞==对于无界数列, 文献[1-2]获得如下结论：（1）数列｛n x ｝无上界而有下界.按定义 1,扩充聚点也可为,-∞+∞.显然，数列｛n x ｝的最大聚点为+∞,而最小聚点可能为有限数，可能为-∞.按定义 2，扩充,-∞+∞可为极限点 显然，数列｛n x ｝所有收敛子列的极限组成的数集的上确界为+∞,而其下确界可能为有限数，可能为-∞.按定义 3，显然lim{}n n x →∞=+∞,而inf{}n n k x >单调增加，但可能没有上界，故lim{}n n x →∞可能为有限数,可能为+∞.(2) 数列｛n x ｝有上界而无下界，同上.(3) 数列｛n x ｝既无上界又无下界 此时按定义 1，定义 2，定义 3，都有lim{}n n x →∞=+∞,lim{}n n x →∞=-∞. 据上，对于无界数列情形，以上三种定义也等价.由于上 下极限的概念适用于所有数列，而极限存在的充要条件是上、下极限相等 ，因此，在遇到证明极限存在性问题时，通过考察上、下极限的值去探讨极限的存在性经常是很有效的.此外,也常遇到这样的问题,需要估计n 充分大，数列｛n x ｝中的n x 能有多大（小）？或者通过对上、下极限值的估计解决所提出的问题.文献[1-2]进一步给出如下结论：定理 1 对任何有界数列｛n x ｝有lim n n x →∞≤lim n n x →∞. 定理 2 lim n n x A →∞=的充要条件是lim n n x →∞=lim n n x →∞=A. 定理 3 设｛n x ｝为有界数列, 则有：（1）A 为｛n x ｝上极限的充要条件是：对于任意的0>ε，(i) 存在 N 0>，使得当 n N >时,有 ε+<A x n ；(ii) 存在子列{}k n x ，k n x A ε>-，1,2,k =. (2) A 为｛n x ｝下极限的冲要条件是: 对于任意的0>ε，(i) 存在 N 0>，使得当 n N >时,有 ε->A x n ；(ii) 存在子列{}k n x ，k n x A ε>+，1,2,k =.定理 3的另一种形式如下:定理 4 设{}k n x 为有界数列,（1） A 为{}k n x 上极限的充要条件是:对任何α>A ,{}k n x 中大于α的项至多有限个;对任何A β<,{}k n x 中大于β的项有无限多个（2）A 为{}k n x 下极限的充要条件是: 对任何A β<, {}k n x 中小于β的项至多有限个;对任何A α>,{}k n x 中小于α的项有无限多个.文献[3-5]中给出了函数的上、下极限的基本定义和一些数列与相应函数列的上、下极限间关系的性质定理.其主要结论如下：定义 4 数l =0lim ()M δδ+→称为函数()f x 在0x 的上极限，记作0lim ()x x f x l →=； 数l =0lim ()m δδ+→ 称为函数()f x 在0x 的下极限，记作0lim ()x x f x l →=； 其中0()sup{():(,)}M f x x V x I δδ=∈⋂，0()inf{():(,)}m f x x V x I δδ=∈⋂.定理 5 设{}n x 为一实数列，且lim n n x a →∞=,lim n n x b →∞=(a 、b 为有限数),又设函数()f x 在包含a 、b 的区间(,)m M 上单调，在点x =a 、b 初连续，则：1 ) 当()f x 单调递增时，有： lim ()(lim )()n n n n f x f x f a →∞→∞==， lim ()(lim )()n n n n f x f x f b →∞→∞==.２）当()f x 单调递减时，有：lim ()(lim )()n n n n f x f x f b →∞→∞==， lim ()(lim )()n n n n f x f x f a →∞→∞==．定理 6 设{}n x 为一实数列，且lim n n x →∞=+∞,lim n n x →∞=-∞如果()f x 是定义在(,)-∞+∞上的实函数,且lim ()x f x a →+∞=,lim ()x f x b →-∞=(,a b 均为有限数),则: 1)当()f x 在(,)-∞+∞上单调递增时,有:lim ()(lim )n n n n f x f x a →∞→∞==,lim ()(lim )n n n n f x f x b →∞→∞==. 2) 当()f x 在(,)-∞+∞上单调递减时,有: lim ()(lim )n n n n f x f x b →∞→∞==, lim ()(lim )n n n n f x f x a →∞→∞==. 定理 7 若()f x 在R 上单调上升函数，则对任何数列n x ，都有：lim ()(lim )n n n n f x f x →∞→∞≤ lim ()(lim )n n n n f x f x →∞→∞≤.文献[6-7]给出了几个描述数列上、下极限的方法,也就是给出了几个等价定义,并对这几个定义的等价性加以证明.文献[8]探讨了上、下极限的应用在极限运算以及极限问题中的作用和上、下极限概念在数列与级数论、后续课程中的作用.文献[9]给出了有界数列上、下极限的作用以及他们判断数列收敛的两个充要条件.文献[10]给出了数列的非正常上、下极限在具体问题中的一点应用.文献[11]讨论了随机变量列的上极限的概率性质,并且给出了两个应用实例.文献[12]通过数列上极限和下极限的概念,讨论了数列上极限与下极限存在的充分必要条件及其一些性质与推论,从而补充了一些数列极限的知识.文献[13-15]给出了实数序列以及特殊序列上、下极限的定义、性质，在此基础上介绍了它在如下方面的应用：（1）数列上、下极限在极限运算以及极限问题中的应用;（2）数列上、下极限在判断数列收敛中的应用;（3）上、下极限在极限教学中的应用.三、总结部分本文主要阐述了以下内容：（1）数列、函数的上、下极限的历史背景及现阶段各自研究的重点和主要成果；（2）数列上、下极限的基本定义以及几个等价定义和函数的上、下极限的基本定义以及几个等价定义；（3）数列上、下极限的一些重要性质和数列与相应函数列的上、下极限间关系的性质定理；（4）数列、函数的上、下极限在求数列、函数的极限中的应用；（5）数列、函数的上、下极限在生活实例的应用.极限思想是数学分析中的重要思想，极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。