0
规定
0
(3-12)
k 1
(a11 (a 21 (a 31 (a41
)l11 )l 21 )l 31 )l 41
(a12 )u12 (a22 )l22 (a32 )l32 (a42 )l42
(a13 )u13 (a23 )u23 (a33 )l33 (a43 )l43
(a14 (a 24
)u14 )u24
给定一个线性方程组
Ax b
(3 1)
这里
A
(aij )nn
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n a nn
,
x
x1 x2 xn
,
b
b1 b2 bn
求解向量 x。
1.解线性方程组的消去法
(1)高斯消去法
Ax b
(3 1)
记
a (0) ij
a11 a1k
D1 a11 0, Dk
ak1 akk
0 (k 2,3,n)
即消去法可行。
推论 若系数矩阵严格对角占优，即有
n
aii
a ij
ji
j 1
(i 1,2,n)
则
消去法可行，且
a (0) 11
D1
,
a
(k kk
1)
Dk
/
Dk1 (k
2,3,, n)
(3) 选主元素的消去法
主元素的选取通常采用两种方法： 一种是全主元消去法；另一种是列主元消去法。
那么, 对 x [a, b], xk1 g( xk )的解序列{ xk }收敛于 x* . 命题2.2 若在区间 [a,b] 内 g[x] 1 ，则对任 何 x0 [a,b]，迭代格式 xk1 g(xk ) 不收敛。
(3) 迭代法的误差估计
简单地代之以 | xk xk1 |
3 牛顿迭代法
Ax
b
LUx
b
Ly Ux
b y
——解两个三角形方程组。
1.L为单位下三角，U为上三角— Doolittle分解。 2.L为下三角，U为单位上三角— Crout分解。
矩阵的Crout分解的计算公式
a11 a21 an1
a12 a22 an2
a1n a2n ann
llln12111
(a34 )u34 (a44 )l44
注： 1. 第1列 第1行 第2列 第2行 第3列 第3行
2. lij aij (一个内积) i j uij [aij (一个内积)] / lii i j
3.3.3 对称正定矩阵的三角分解
定义 3.1 若n 阶方矩阵 A 具有性质 A AT 且对任何n 维
2 解线性方程组的矩阵分解法
一、 非对称矩阵的三角分解法 矩阵分解法的基本思想是：
对于给定的线性方程组 Ax b ( A 0)
（1） 分解 A LU
L
l11 l 21
l n1
l 22 ln2
lnn
u11 U
u12 u22
uuu12nnnn
可逆下三角矩阵
可逆上三角矩阵
(2)
a (0) 2n1
a
(0) 3n1
a
(0) 4n
2
1）消元过程： 对k=1,2, …, n 依次计算
ak(kj)
a ( k 1) kj
/
a ( k 1) kk
ai(kj )
a ( k 1) ij
a a (k1) (k) ik kj
( j k 1,k 2,;n 1) (3 4)
(i k 1,k 2,,n; j k 1,,n 1)
(2)迭代法的收敛性
推论 设 x*= g(x*) ， 若 g(x) 在 x* 附近 连续可微且 | g( x* ) | 1，则迭代格式 xk+1= g(xk) 在 x* 附近局部收敛。 定理2.2 （非局部收敛定理）如果 g(x) 在 [a,b] 上
连续可微且以下条件满足：
(1) 若 x [a, b], 则 g( x) [a, b] (2) 对 x [a, b] , g( x) L 1
a ij ,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbi(0)
bi
a(0) i ,n1
则增广矩阵为：
（A(0) , b（0））
a (0) 11
a (0) 21
a
(0) 31
a (0) 12
a (0) 22
a (0) 32
a
(0) 41
a (0) 42
a (0) 1n
a (0) 2n
a (0) 3n
a (0) 4n
a (0) 1n1
ak(kj)
a ( k 1) kj
/
a ( k 1) kk
ai(
k j
)
a ( k 1) ij
a a (k1) (k) ik kj
( j k 1,k 2,;n 1) (i 1, ,k 1,k 1,,n; j k 1,,n 1)
定理 3.1 如果的各阶顺序主子式均不为零，即有
2) 回代过程：
x
n
a(n) nn1
xk
a(k) k n1
n
a
(k) kj
x
j
jk1
(k n,n 1, ,1)
(3 5)
(2)高斯-若当（Jordan）消去法
A b 行初等变换 I x
这一无回代的消去法称为高斯-若当（Jordan）消去法
高斯-若当（Jordan）消去法 一般公式：
第二章 非线性方程的数值解法
常用方法 1 二分法 2 一般迭代法 3 牛顿迭代法 4 弦截法
根的隔离；误差估计；迭代收敛阶
对 f (x) 0
(1)
2 一般迭代法
(1)迭代法 (1) 把（1）等价变换为如下形式
x g(x)
(2)
(2) 建立迭代格式
xk1 g( xk )
(3)
(3) 适当选取初始值x 0 ，递推计算出所需的解。
l 22 ln2
1 lnn
u12 1
uu112nn
j1
lij aij lik ukj
(i 1,2, , n; j 1,2, , i)
k 1
i 1
uij (aij lik ukj ) / lii (i 1,2, , n 1; j i 1, , n)
k 1
向量 x 0 成立 xT Ax 0，则称 A 为对称正定矩阵。
定理3.4 若A 为对称正定矩阵，则
(1) A的k阶顺序主子式 Dk 0 (k 1,2,, n)
x k 1
xk
f (xk ) f ( xk )
其迭代函数为
g(x) x f (x) f (x)
牛顿迭代法 (2 12)
(2 13)
4 弦截法
x
k
1
xk
f
(
x
k
f )
(xk f
) (
x
k
1
)
(
x
k
xk1 )
x0 , x1
k 0,1,
弦截法
第三章 线性代数方程组的数值解法
1 解线性方程组的消去法 1 解线性方程组的矩阵分解法 3 解线性方程组的迭代法