第12章 图像的小波变换处理 （第一讲）
12.1 小波变换的基本概念 12.2 连续小波变换 12.3 离散小波变换
12.1 小波变换的基本概念
信号分析：获得时间和频率之间的相互关系。 傅立叶变换：提供频率域的信息，但有关时 间的局部化信息却基本丢失。 小波变换：缩放母小波的宽度来获得信号的 频率特征，平移母小波来获得信号的时间信 息。缩放和平移操作是为了计算小波系数， 小波系数反映了小波和局部信号之间的相关 程度。
小波变换的基本概念
小波：一类在有限区间内快速衰减到0的函 数，平均值为0，小波趋于不规则、不对称。 正弦波：从负无穷一直延续到正无穷，平 滑而且可预测的。 小波和正弦波形状看出：变化剧烈的信号 用不规则的小波分析比用平滑的正弦波更 好，用小波更能描述信号的局部特征。
…
…
(a)
(b)
小波变换的基本概念
连续小波变换（Continuous Wavelet Transform， CWT）：
C(scale, position) f (t) (scale, position, t)dt
小波变换：信号f(x)与被缩放和平移的小波 函数ψ()之积在信号存在的整个期间里求和 的结果。CWT的变换结果是小波系数C，这些 系数是缩放因子）和平移的函数。
双通道子带编码:原始的输入信号，通过两 个互补的滤波器组。 1）低通滤波器，通过该滤波器可得到信号 的近似值A； 2）高通滤波器，通过该滤波器可得到信号 的细节值D
小波变换
S
滤 波 器组
低通
高通
A
D
小波变换
近似值:是大的缩放因子计算的系数，表示 信号的低频分量， 细节值:是小的缩放因子计算的系数，表示 信号的高频分量。 实际应用中，信号的低频分量往往是最重 要的，而高频分量只起一个修饰的作用。
1 a0m
x
nb0a0m a0m
a0 m
/
2
(a0mt
nb0 )
Cm,n f , m,n a0m/ 2 f (t) (a0mt nb0 )dt
二进小波变换
j,k (x) 2 j / 2 (2i x k)
c j,k
f (x), j,k (x) 2 j / 2
f (x) (2 j x k)dx
双尺度小波变换
小波分解
小波分解：具体实现过程可以分别设计 高通滤波器和低通滤波器，得到高频系数 和低频系数，并且每分解一次数据的长度 减半。
D1
A2
D2
A3
D3
小波变换（DWT）
在每个缩放因子和平移参数下计算小波系 数，计算量大，数据多，还有许多无用数 据。选择部分缩放因子和平移参数来进行 计算，会使分析的数据量减少。 双尺度小波变换:如果缩放因子和平移参数 都选择为2j（j>0且为整数）的倍数，在每 个通道内（高通和低通通道）每两个样本 数据取一个，可得离散小波变换的系数。
小波变换
小波变换:可以表示成由低通滤波器和高通 滤波器组成的一棵树。原始信号经过一对 互补的滤波器组进行的分解称为一级分解， 可以进行多级分解。 信号的多分辨率分析:如果对信号的高频分 量不再分解，而对低频分量进行连续分解， 就可以得到信号不同分辨率下的低频分量。
小波变换
信号的多分辨率分析:SFra bibliotekA14)伸展小波，重复第一步至第三步。 5)对于所有缩放，重复第一至第四步。
小波变换—步骤
小波的缩放因子与信号频率之间的关系： 缩放因子scale越小，表示小波越窄， 表示信号频率越高,度量的是信号的细 节变化；缩放因子scale越大， 表示小 波越宽，表示信号频率越低,度量的是 信号的粗糙程度。
小波变换
一幅地图的尺度是地域实际大小与 它在地图上表示的比值，地图通常 以不同尺度来描述.
小波变换进行图像分解
小波变换的基本概念
与Fourier变换相比:小波变换是时间(空 间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移 运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化， 最终达到高频处时间细分，低频处频率细 分，能自动适应时频信号分析的要求，从 而可聚焦到信号的任意细节，解决了 Fourier变换的困难问题，成为继Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。有人 把小波变换称为“数学显微镜”。
一维连续小波变换
一维连续小波变换 Wf (a,b) f , a,b f (x) a,b (x)dx
( a ,b )
(x)
|
1 a
|
(
x
a
b
)
一维连续小波逆变换
1
f (x) C
0
W f
(a, b)
( a ,b )
(x)db
da a2
墨西哥帽小波
一维离散小波变换
m,n (x)
小波变换的基本概念
小波(Wavelet)，“小波”就是小区域、 长度有限、均值为0的波形。 所谓“小”是指它具有衰减性；而称之 为“波”则是指它的波动性，其振幅正 负相间的震荡形式。
墨西哥帽小波
小波变换的基本概念
离散小波变换将一幅图象分解为大 小，位置和方向都不同的分量。一 个图像作小波分解后，可得到一系 列不同分辨率的子图像，小波变换 正是沿着多分辨率这条线发展起来 的。
f (t) O
f (t)＝ (t)； scale＝ 1
t
f (t) O
f (t)＝ (2t)； scale＝ 0.5
t
f (t) O
f (t)＝ (4t)； scale＝ 0.2 5
t
小波变换--平移
平移：小波的延迟或超前。在数学上， 函
数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)。
(t)
(t－k )
二维连续小波变换
二维连续小波变换
Wf (a,bx ,by ) f (x, y) a,bx,by (x, y)dxdy
二维连续小波逆变换
f (x, y) 1
C
0
W f
(a,bx ,by ) a,bx,by (x, y)dbxdby
da a3
小波变换--缩放
缩放：压缩或伸展基本小波，缩放系数越小， 则小波越窄。
O
t
O
t
(a)
(b)
(a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
小波变换进行图像分解
小波变换—步骤
CWT计算主要有如下五个步骤： 1)取一个小波，将其与原始信号的开始一节 进行比较。 2)计算数值C，C表示小波与所取一节信号的 相似程度，计算结果取决于所选小波的形状。 3)向右移动小波，重复第一步和第二步，直