2 2
，
B
13
42
（1）计算 2A B ； A 3B ；AB；BA。
（2）计算 A2 B2 与 (A B)(A B) ，并判断是否相等。
答案：（1）
7 5
06
；
0 13
144
；
9 10
1146
；
5 7
22
（2）
6 19
286
；
20 16
24 12
，不相等。
点评：① A2 A A
② AB BA
【热身练习】
1、矩阵
1 2
2 3
0 4
的行向量是
1 2
0, 2
3 4
列向量是
12,
32,
0 4
2、方程组
2x 4x
3y 1 y6
0
的系数矩阵是
2 4
31
增广矩阵是
2 4
3 1
16
3、增广矩阵
2 0
1 7
0 1
1 4
对应的方程组是
0 1 4 8
2x y 1 7 y z 4 y 4x 8
答案：当
a
1且a
3时，
x
y
a(a2 2a 7) (a 1)(a 3)
(a 1)2 (a 1)(a 3)
当 a 1或a 3时，方程组无解。
变式
2、
m
为何值时，方程组
mx (m (m 1)x
1) y m 2 (m 2) y m
1
有唯一一组解，且满足
x 0, y 0 ？
gh i
ab
gh
7、 2 a2 b2 a1 b1 3 a1 b1 表示成三阶行列式为 a3 b3 a3 b3 a2 b2
2 a1 b1 1 a2 b2 3 a3 b3
8、计算：
a2
b2 b3
c2 c3
b2
a2 a3
c2 c3
c2
a2 a3
b2 = c3
0
9、构造一个三阶行列式 D，使得该行列式的某个元素的代数余子式的值是 a ，
d1 b1 c1
a1 d1 c1
a1 b1 d1
Dx d2 b2 c2 ， Dy a2 d2 c2 ， Dz a2 b2 d2
d3 b3 c3
a3 d3 c3
a3 b3 d3
（1）当 D 0 时，方程组有唯一解，其解为 x Dx , y Dy ， z Dz ；
DD
D
（2）当 D 0 时，方程组无解或有无穷多解。
（1）
2x 4x
y 1 3y 7
3x 5y z 1 （2） 2x 3y 2
4x 2 y 6z 6
答案：（1）
1 0
0 1
11 ，
x 1
y
1
1 0 0
（2）
0
1
0
10 7
1
x
10 7
y 1
0 01
2
z
2
7 7
点评：通过矩阵变换把增广矩阵的系数矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的最后
4 7
，且
A+2X=B，求矩阵
X
2 4 8
3 2 6
2 3 2
答案：
2 1
2 1
1 1
2
点评：从逆向角度考察矩阵的运算，先移项求出 X 用 A 和 B 表示
例 4 某地区有 1、2、3、4 共四个工厂，年生产甲、乙、丙三种产品如下表所示（单位吨），
已知甲、乙、丙三种产品的每吨价格分别为 100 万元、120 万元、90 万元，若生产这三种产
2970
504
,所以工厂
1、2、3、4
的年总收入分别为
3070、2970、1752、2900
1752 420
2900
487
万元；年总利润分别为 558、504、420、487 万元
变式 1、某食品店接受订购 A、B、C 三种不同规格的生日蛋糕，蛋糕配料如下（单位千克）：
0.3 0.6 0.8 0.1 0.6 0.3 A
2 x
y)
的系数矩阵为
3 4 1 5
3、计算 cos2
1 =
1
sin2 1
4、不等式 x 1 3 0 的解集为 2x
2 x3
a c1 5、已知 a,b,c 是△ABC 的三边长，且 b a 1 0 ，则△ABC 的形状为
c b1
等边
三角形
ab c 6、行列式 d e f 中 f 的代数余子式为
【精解名题】 （一）、矩阵的概念与运算 例 1 判断下列命题的真假 （1） m n 矩阵是由 mn 个数任意排成的一个矩阵表 （2）矩阵 A (aij )35 中第 2 行第 3 列的数可表示为 a32
（3）主对角线上全为 1 的方阵称为单位矩阵 答案：全是假命题
例 2、用矩阵变换的方法求解下列线性方程组：
y
N
C
L
A
M
B
O
D FE
x
答案：（1）略；
（2） SABC
1 2
[
x1
(
y2
y3 )
x2 (
y1
y3 )
x3( y1
y2 )]
（3） S ABC
1 2
x1 x2
x3
y1 1 y2 1 y3 1
（4） SABC
1 2
x3 x2
x1
y3 1 y2 1 y1 1
2．已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 A(1,2)，B(5,0)，C(4,6)，将△ABC 绕原
一列即为方程组的解。
变式 1、将下列线性方程组写成矩阵形式：
（1）
2x 4x
3y 5y
2 18
x1 x2 x3 4 （2） 4x1 2x2 3x3 1
2x1 3x2 4x3 4
答案：（1）
2 4
53
x y
128
（2）
1 4
1 2
1 x1 4 3 x2 1
2 3 4 x3 4
ay z 1 答案： D (a 1)(2a 5) ， Dx (a 1)(a 11) ， Dy 2(a 1) ， Dz 5(a 1)
x
a 11 2a 5
当
a
1且a
5 2
时，有唯一解，
y
2 2a
5
z
5 2a
5
x t 2
当
a
1 时，方程组有无数组解
y
t
(t R)
z t 1
a1b2 a2b1
a1 b1 c1 a2 b2 c2 = a3 b3 c3
a1b2c3 a3b1c2 a2b3c1 a3b2c1 a1b3c2 a2b1c3
3 按一行（或一列）展开，例如按第一行展开：
a1 b1 c1 a2 b2 c2 = a3 b3 c3
a1
b2 b3
c2 c3
b1
a2 a3
（二）行列式的运算 例 3、展开并化简下列行列式： （1） a a 1
b b1
（2） cos21 sin 24 sin 21 cos24
答案：（1） a b
（2） 2 2
变式 1、解不等式 x2
2x 0
2 1
答案： x 0或x 4
变式 2、设 f (x) x2 2x 3 ，当 x [1,2] 时，求 f (x) 的值域。 2 1
品每吨的利润分别为 15 万元、18 万元、20 万元，求该四厂年总收入和年总利润
工厂 1
工厂 2
工厂 3
工厂 4
甲
10
12
6
11
乙
6
8
5
9
丙
15
9
12
8
10 6 15
答案：设矩阵 A 12 6 11
8 5 9
9 12 8
,
B
100 120 90
15
18
20
3070 558
C=AB
教学难点： 1、二阶、三阶行列式展开的法则； 2、利用行列式的运算求方程组的解。
考点及考试要求：
【知识精要】 一、矩阵的概念与运算
教学内容
1、矩阵
a11 a21
a12 a22
a13 a23
行向量= a11 a12 a13 、 a21 a22 a23
列向量=
a11 a21
、
a12 a22
、
a13 a23
2、如果
A
a11 a21
a12 a22
，
B
b11 b21
b12 b22
，
C
c11 c21
c12 c22
c13 c23
，则
（1）Ａ＋Ｂ＝
a11 a21
b11 b21
a12 a22
b12 b22
；
（２）３Ａ＝
3a11 3a21
3a12 3a22
；
（３）ＡＣ＝
；
（４）Ａ＝Ｂ
。
３、矩阵的三种基本变换为：（１）互换矩阵的两行；（２）把一非零的数乘某一
行； （３）把某一行的倍数加到另一行。
４、矩阵的运算：乘法适合结合律、分配律， 不适合交换律。
注：两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，则
当 AB=0 时，不能推出Ａ＝０或Ｂ＝０；同样，当 AB=BA 时，即使 A 0 ，也
不一定有 B=C。
二、行列式
１、二阶行列式： a1 b1 ＝ a2 b2
2、按对角线法则展开：
c2 c3
c1
a2 a3
b2 b3
三、二元、三元一次方程组解的情况：